# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com # Page: https://leibnizlegible.com/page/00067960:0015 # Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00067960:0015?run=39 # Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 1, 1 # Folio [8]r, page id 00067960:0015 # Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067960&page=15 # Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067960/jpgs/default/00000015.jpg # Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 179 lines, status machine # Lines: 179 recognised, mean confidence 0.93 # Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German. # Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text. # Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote". # After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line. 162 BA ad D, set sit ad AB per pendicularis A Cerunt anguli CAD et CAB aequales. ipsi (AC applicetur mobilis regula LM, mobilis servato angulo recto ad AB, et perveniat in BE situ (1(n, Angulo erit angulus EBB etiam rectus, producatur EMm BEC EC in F ostendum eststineam M(M) esfa jam ostendendum est lineam M(M) esse rectam, et angum CM ECL esse rectum Dica Ducatur rect EM et produratur in EC ut producatuur in B Recta AC bisceat planum, ut congruant quae sunt ad partes D, et quae ad partas B Ergtm e sit DF quotis BE ad partes B, qualis BC ad partam B. Eneo anguli ACF et ACE sunt aequales producatur BC in G, quia linea ECF bifuriam secat planum, ut se eodem modo habeat ad partes G ut ad partas A, ab angulos ad Cutrinque nosdem, erit linea ECF recta, rursus (13) sit recta AB, et super A erigatur pe pendicularis AC si militer supor B, per perpendicularis BE, aequalis issi AC, ostendendum est etiam CE esse aequalem ipsi AB et Uny. ad C aequalem argolo ad A. Ex C educatur ad iegulos rectos recta BE. Eogo eodem modo se habet ad eductai in desimila CG ad ut indofinita 1∞) ex rectae AB in extremis educantur AC, et BD angulis rectis, congruent AD ABD et BAC.. quia ex hoc solo determinatae sunt audbae rectae, et eodem modo se habent, ad eandem AB, etiam eodem mode se habebunt inter se; et proinde orunt par allolae (12) Dificile est ex solis congruentiae rationibus constituere propricta naturam parallelarum. Nc itaque eta Axioma quoddam assum sit coclidaes, quod demonstrare non potuit. Clavio demonstrationem ejus supplere volenti non soccessit. Ego Video recurrendum esse ad principium altius rationisd (12) sed ostendere oportat si una rectu ad equaler duas eundem angulos facit, quamvis ad eam dun angulos facere multa tentavi, et video ut hoc qui dem facile demonstrari posse, si ex recta AB educantur perpendi- culares aequales AC, et Bd esse Cd aequa reclam aequalem ipsi AB, et angulom Cd ad C et B esse rectos. quemadmodum ponendo angatum rectam ex C versus d angulo recto educi, non facile demonstrari potest itcidere in D, et angulo itidem recto. Euclides cum difficultatem (+3) itaque video supplendas esse Geometricus demin- stantiones ex altiove principio rationis determinantis in proprietatibus parallelatum demonstrandis reperiret axioma assunsit assumsit 13 quod rectae ad s ex recta eductae sic eductae, angulis inaequalibus sed enim res redit) concurrant quod si volui posusset definire parallesas qu adeoque non sunt paratelas, nam has defimuit quae in plano non concurrunt. si maluisset definire paralletas itmedim quae aequales angulos faciunt ad rectam, debuisset aeres AC fuisset ei axioma quod tales non concurrant eo rebit ut connexio inter haec duo demonstretur aequalem angulum facere ad rectam, et non concurrere. Demonstravi paulo ante facare ad quance si ponatur parallatum angulum aequalen fieri ad quamcunque rectam. Ergo hoc ostendendum erincipio em omnem consequi vdet ex altiore nemperationes determinantis. Ex A AB, ut ungulo aequi 3) (1 orro quae determinantur habent inter se recto eductae AC, BD sunt determinatae Ae Bd aequales. Utique ob determinata eodem modo ex eodem, eodem modo se puncta B et C C ut D, determinata est recta DC. Eritue Assumatur asumautur angulus D, aequa ad C aequalis aequ angulo ad D cum ed eodem modoe determinentur. Su l ergol ostendatur esse rectos Metientardos pngplose cnterx ereartm ad eandem, si aequalas sut rectos esse imo quin eodem argumento sequitur angulur ad D vet ad B esse rectum, quia s ex determinatione nulla est cur haberi potest ratio cur ed se aliter habeat ad partes E quam ad partes d congrua esse (14) Ex his patet congruere HB et C. D ABDC et CDBA rectis L A A L - MB L.ACN. M BdO et NAL. OBM, angulis A, Sive inve sive inverti posse posito LA = CN, et BM = d0 ergo congruent etiam recta LM, et No. sed LM recta ipsis Ata, Bn est indrectum, ergo N0, aequalis ipsi LM etiam cadit t est ipsis CH, d0 sei cNoD est recta (15) Eodem modo ponendo AB procedere super AC t aingulo recto servato, im in cd, inta intio esse potest cur angulas DBA et DBC Consut aequales, sencur plus anto aut tanto plus milonetur in alteram parte. unde quous patet etiam si cd = AB et angulus ad C rets A et C rectus fore et ad B et d rectum Unde simul probatur et Bd rectam esse, et ungitur rectum ea enem sola utrinque habet eodem, modo (16) Caeterum ex hoc solo quod demenstravimus prop 5. 13 o eductis angulo recto ad AB rectis C, Bd, aequalibus angulos ad C et d rectos esse hiec demonstravit Euclides sequitur sequitur rectas AC et Bd non posse concurrere quia Euclides ostendit propositione 28 plimi si ACD, si anguli Ated, et ABd siut aequales rictus non posse Idem ostendit prop. 27 ibidem ejusde si recti incidat isd eodem modo, in duas parallelas concurrire sei angulos AEEAC, EBd ese aequales rectas AC, Bd concurrere non posse F. Ilam sanererat silum demonstranda inversa, seu quseu quod posito dup rectas non concuriere recta non, concurrentes inter se ab endem recta ad eosdem argutos seceribur pae qua 29 primi, Et hoc reapse redit ad axiom. 13. Ad hoc demon- strandum proclus astumsit ouas rectas quae ucuntur ad distantiam a se invicem venire quanta meanquei, es lavius autem rem aliter demonstrate conatur, assumens rectam quae super alia recto manente eodem mornente angulo sertur describere rectam potes concipi recta LM moveri ad AC angulo servarto quocunque et descubere lucm Bd ti jon Bd est recta, non potest concurrere cum He juna AC veriret ad punctem cincursus H, ibi non posset enda facere augol se XHA, et LHB partem et totum itaque ris confecta tentasi indo emstet Bd esse rectam id autem 20) ex eo demonstramum in hac ipsa paraguacso quod recta mobilis ad ambas quas desti extremis percurit, se habet eodem modo, Ergo si una est recta etiam altera talis erit et (17) ut conc ludatur possus ne parallelas defuire vel cum cuclider qu rectas quae in eodem plano non concurrunt, vel esse rectas, quae ad eandem rectam sunt perpendiculares. oendi enim potest, tum has non concurrere, tum non concurrentes esse ad eandem rectam perpendiculares. ostendi etiam potest rectas binas quae ad unam aliquam rectam angulos aequales faciunt, ad quamdibet aliquam aliam lui occurrunt argulas aequales facere, proprietites proprietas. Eoclides quae vero etsi iminus sit causalis habet tamen hoc quod nihil eligoto sut normales eligit anguli rectum, vult genertt aecucludis quod quod paralletae sunt quae non concurruit, A At quae definit per parallelas per eas quae ad eandem rece paradoxa est, seu d essentiae dubitabilis, quaeritur enum quae an aliaum que mois alio angulo eundem anulur facint, iimis dicere si parolelas quis de finiat lineas quae nec inter se disceni possunt, nec in varius lais respondenilit possint diserm, demonstrare quo debebis, ta tales esse rectas eod finitione esse paralletas Et haec pendentee 16 primi Euclidis, quod in triangulo angulus externus sit utr oli interno opposito major. A ipsi excronitote P ipsi Bal 50) poluissemus aliter it demonstrare. rectam quom eudo L ter ad ie magulo erri prt et exhen tatE L ac existenta gum sepditur eas noncnn re, namhi cuncutrerent veia rect. e LM eo enietis sieu Am, faceret angulo AHA, XH uales partem toti et ractu tiam alterum este recto jecta ex eo sed CM D se u) eodem modo ad smbas habente ut eam adeandem rectam faciat eundem angutus