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# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 1, 21
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a sur le linre cinquieme des nouveaux Elemens
de Geomebrie, qui commence à traiter de l’Estendue
on dit fort bien, que
La ad l’Estendue est une grandeur continue per manente. mais on
se sert incontinent apres des dimensions, piTongueur, largeur et profondeur
sans expliquer ce que c’est. J’en ay donné des notions distinctes. l’auteur ne veut point qu’on
sero
definisse le plan et la dioite:  n’en point donner de notion distincte il veut pussi qu’on
doit commencer par la ligne, nais comme il suppose les lignes dans un même plan, il est maniteste
qu’on se sert de la notion du plan ou de la superfi
Il se sert par apres decet Axiome x Archimede si deux lignes sui le même
plan ont les extremités conmunes, et sont courbes ou crenses vers la meme part, celle qui est
plus courte que celle qui la contient Mais il falloit ex pliquer ce que l’est que
unt be ou treu
eme de même part et ce que c’est detre contenu. Une coute est crense de même part,
c E une ligne est courbe lors qu’ly Lorsqu’une ligne est commune à deux surfaces, cequi
est dans l’une des surfaces est d’une part, on dlun coste, et ce qui est dans l’autre sui face
ese de l’autre costé. Une signe est combe, quas les deur costes different: la le creux est
du costé ou est la ligne droite qui nuit les deux extremités.
ene ligne est cortenne dans
l’autre lors qu’elle est dans sou espace, c est à dir 6dans l’espace qu’elle enferme avec la choite qui
isint ses extremités. Cette L’Axiome pourroit estre, demonstré en considerant la
couibe, comme la termination de d un polygone rectiligne, et le demonstrant gnhalement
dans ce polygoue; Mais c il est  premature de marquer cette proposition
an commencement de la Geometme comme si c’estoit le premier de, ses Axiomes
c’est une proposition generale mais du nombre de celles qui ont besoin de propositions plus
particulieres qui pour estre demonstrees.
Le second Axiome edemende ee ou demande (c’est ainsi que
parle l’auteur) ayant deux points donnés on peut mener une ligne droité de l’un
à l’autre Et l’on n’y ex heut mener qu’une; laquelle par consequent est l’unu
et naturelle meture dela distance entre ces deux points. j’y remarque premierement
que les Geometres ont constume le distingoer qu’Euclide distingue la demande de l’Axiome
appellant demande par rapport aux problemes, ce qu’il appelle Axiome par rapport
aux Thecremes. Mais itemble icy on joint ensemble j’un et l’autre, car qde dire qu’a
nesul mener une droite d’un pount a un autre point c’est une demandé
et de dire qu’on n’en peut mener qu’une, c’est un Axiome. Il est vray qu’il seroit
à souhaiter que cet axiome tul demonstré et mis en theoreme. Car dans la suifacce
spherique on peut tirer plus d plusieurs lignes egales entre elles, mois plus tourtes
de toutes les autres d un po pole à l’autre Ainsi il n’est pas tousjours recessaire
toisiemertx come ou demande la simplicité de la ligne noit fait qu’en
que la plus courte soit uniz
ayant une posée elle on l’a peut prolonger de part et d’autre jusques à l’infiri, c’est
à dire tant que l’on vent. D’ou il s’ensoit, que deux points estant donnés toute la
eigne dioite est donnée. Remarque: c’est la protongation de la ligne dioite  à l’infine
vient de la similitude dela partie avec letout. Car puisque chaque sa partre est prolongée
dans le tout il faut que ce tout soit prolongé de même dans un tout plus grand
fontriene Axiome: si une ligne est couchée sur l’autre en une de ses parties
elle le sera en toutes pourveu que l’une et l’autre soit prolongée autant qu’il faudra.
Rem. C’est que deux divites ne sauroient avoir un segment commun, comme parle
Cinquieme Axiome deux divites ne se peuvent couper qu’en un
point. Remarque: cet axione est deja compris dans le second sixieme erome
l’Euclide
deux dioites qui estant prolongées vers un même costé s’approchent peu
à peu, se couperont à la fin. Remarque: il faut adjouter, qu’ellest
a  coupe le plan en deux pardies congruentes, et
a  Dioute la dioite ()m domboit dans une section
par AB, les comme ABC ()(X) PB, il est visible que la section (QP (n) tomberoit toute dans la
et la droite Ln en deux autres congruentes 
action ABC et par consequent on ABC B on N (LML)P(M) est congruente avec dont
LIP(M) servit congruente avec (L) N(M) c’est a dire avec (2)) (B) A (L (M) B A + AB AdB,
dons  ostant a () B(M) L) (N) BA, et l’adjoutant à (L) AM) il ne peut en  provensr
ACB, congruant à ADB;, c’est pourqueye (L) M) ne peut somper dans une partre de la
estiou, et par consequent
e conpent
il  est lommln à deux sections, et et ainsi les deux droites
=Et un pen
Sebsinit, que
est la plus
courte estendu
entre deuxpoints