# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0025
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0025?run=39
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folio 13r, page id 00067993:0025
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 14v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=25
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 82 lines, status machine
# Lines: 82 recognised, mean confidence 0.94
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

BEGB. ut restet BFGB, et a dimidio rectanguli, seu a triangulo DCB auferatu
curvam et  radium AB, consistentis Zonas quadrilineas esse angulis  dimidia figura segmentorum, seu per prop. 8 ipsum segmentum DBOD restabit trilineum
DCBOD. dimudium ipsius BFGB. Quonium differentia dimidiorum, DCB, DB0D,
diinidia est BFGB differentiae totorum BEGF, BFGB. adde prop. 29
P R05051710 X 1.
A figura curvilinea utcunque erigua portionem abscinder, curus duplo
exhibeatur aequalisfigura longitudinis infinitae, infinitis modis.
Quantulacunque sit figura curpilinea utique infinitis modis aliquod curvae ejus 2C3 (+ Cn (redeundo ad fig. 3)
esse diximus et EF, ex earum constructione. Hinc eandem curvam C1F2FZF en. punctum eligi potest,  n. ad quod dud potest tangens M A, et ad hanc tangentem
perpendautaris t, que 2B(, intra figuram; ita ut abscindi
rossit a fgura trilineum orthogonium 2C2Bn + C3C. C aso hujus duplo aequalem
ex
posse exhiberi figuram infinitam; et ostendi modum exhibendi.
aliquod rectae 4B(, productae si ita libuerit, punctum A, ducatur perpendicularis A, F
Parallela scilicet tangenti e A, et ex curvae 2CM punctis 3C,  aut 4C ducantur
tangentes quae epsi AT occurrant in punctis 3T, 4 et 4T et similibus; et ex
punctis occursuum 3T. 4T. demissis perpendicularibus 3T3D, 4T4D ad
3B3D, +B4D ordinatas tangenti n A paranelas, si opus est, productas; idque
perpetuo factum intelligatur, a puncto 2C usque ad punct in n. ut in prop.  tunc
habebimus spatium infinitum 2D2B N (34D duabus lineis rectis finitis
2DZB et 2B n. duabusque lineis infinitis una curva in infinitum procedente, ED3DADS
altera recta issi asyuptoto, e A comprehensum
Porro Curvam 2D3D+ DB
infinisam esse patet, quia quanto propius aberit punctum ut 4C a puncto p hor
longior erit recta A4T, et si qua detur linea recta finita, poterit semper
punctum tale tamque propinquum puncto M. mente designari, ut ipsa A4Y vel
ei aequalis 4B 4 D sit data linea recta finita major, adeoque curva 4Dβ. procedet
in infinitum versus A; semperque magis magisque descendet ad rectam n A
pront punctum ut 4B vel 4 C vel + D ipsi n A. propius assumitur: nunquam
tamen ad rectam in A perveniet. Nam si ad eam perveniret in puncto
aliquo ut A, ipsa na foret ordinata ad curvam, adeoque aequatis portioni
ex ex AT, per tangentem in n, id est per ipsam ( Aipsi AF, si possibile esset,
occurrentem, abscissae, sive Resectae; sed An A ipsi  AT, sibi parallelae
occurrere impossibile est, quare nec recta n A uspiam occurret curvae, 
superest, ut ostendam spatium longitudine infinitum 2D, B  A etc (34D2DD
ne proinde erit asymptotos.
aequali duplo tilineo orthogonio 2C2B(3CZC, p xeteectne multa
milc. Verum hoc non aliter fieri potest, (ne quis hic erreta
nisiorecta inRs p  rectu (n) A. puncto (() paulo supra puncti
t a ealeatae,  exsoinde ecure eDde neymstes, sed ei occurrens alicubi ut
in A, licet A absit infinito abhinc intervallo. id est recta () A erit quidem
infinita, sive quavis designabili major, sed non interminata. Hoc posito utique ex
prop. 7. spatium 2 D2B() s d 2 C, infinitae baseos (n A ipsius finiti 1C7B 4C 2C.
duplum erit. Generalis enim est propositio 7. nec longitudinem aut brevitatem
linearum moratur.
Scholium
 est contemplatio de spatiis longitudine infinitis magnitudine tamen finitis.
Memorabilis
Veteribus quod sciam, nihil tate innotuits eesaus ipsis mirum videbatur, esse quasdam
rectas asymptotos, quae magis magisque ad curvam accederent, nunquam tamen ad cami
pervenirent. Primus ut puto, Torricellius solidum Hyperbolicum acutum 
longitudine infinitum dimensus est, et ad Tubum quendam reduxit; in plano P. Gregorius
a s. vincentio spatium infinitum inter duas Htyperbolas certa ratione comprehensum quadravit,
et Vir suo merito celeberrimus, Christiamus Hugenius, spatium cissoidale infinitum
ad circulum revocavit. Et Geomerra eximius, Joh. Wallisius ostendit quomodo
innumerae sint Hypervoloides, quarum sarea, licet longitudine infinita, possit 
inveniri, et, quomodo possint illae absaliis, quae id non patiuntur, probabili ratione
discerni) qua quanquam inductione ntantur, plurimum tamen ingenii habent Nobis
propositio septima viam dedit, cujuslibet vervae datae segmento cuidam vel sectori,
utcunque parvo, duplicato, infinitii modis, figuras congitudine infinitas exhibendi aequales.
Quod aliis etiam rationibus fieris posse non ignoramus. Caeterum ingenuitas
nostra non patitur ut dissimutemus, non esse ista tam mira, quam hominibus
in aper antur e e erie eriae ut asa omroin
sumta intervallo (M)  infinite
parvelesta ordinata ((M) A. erit
longitudine infinita; major qualibe
assignabili 4B4D quia etiam
ipsa (n () quolibet assignat
intervallo ( 4B minor e
Pruinde cumva (1) A non e
curvae Ddas asompto
aliter demonstrandum quod
ntque mn
via non potes invenisi pars ejus finito
aequalis.
nece minor quia nec
pars alterius ipsi aequalis. Idem
fieri potest infinilis modis
nfiniti pars fanita assum
potes dato fincto major
Hadde infra prop. 22. ubi
demonstravimus.