# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0032
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0032?run=39
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folio 16v, page id 00067993:0032
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 15r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=32
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000032.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 66 lines, status machine
# Lines: 66 recognised, mean confidence 0.95
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

aequatio v aeq. y coincidit cum hac v aeq. y. et y aequ py cum
hac y 2q. pY. et aequatio v yt aeq. ps cum hac vy aeq. p3.
Urva Analytica Rationalis est cujus axis ita sumi potest
ut sit ordinata rationalisposita abscissam et parametres
esse rationales; id est ut abscissa et parametris, in numeris datis, etiam
ordinata in numeris haberi possit. Talis est parabola A. C. CBC cujus
vertes A, pro axe sumatur non AB (quae vulgo dicitur Axis Parabolae) sed AB
AG quae parabolam in vertice tangit, ita ut abscissae AG sint V, et
ordinatae GC sint, y. labus rectum vero p: ex natura parabolae est py.
aeq. v ergo y aeq. V seu ordinatauaequalis quadrato ab abscissa, v,
diviso per parametrum, Pp adeoque ex data abscissa et parametro, ordinata
parabolae ad tangentem verticis in numeris haberi potest. De ordinata vero BC
o ad ipsam AiBibni fig.. ducta id non successisset. In Hyperbol
nec axis, nec tangens verticis sumi debet, sed atymptotos. Nam si
in fig.. curva 1C. C3C sit Hyperbola, et alteputra ex asymptoti
pro axe ordinatarum sumatur ordinata semper est rationalis, ex abscissa
et parametro rationalibus Nam si AB sit v. et BC sit v, et
Tentrum A, hanc
constati esse rectum
rectangulum ABC aequale quadrato a PR, vel AP. sive esse
ab
diximus, vy aeq. p. ergo v aequ p. contra
ut
ordinata
AG Av. GC, y
erit y aeq P. utroque ergo casu ordihatae valor pure ac rationaliter
inveniri potest; et ceda proinde Hyperbolae est rationalis. In Circulo
figura
et Ellipsi impossibile est axem ita assumi, ut ordinatae fiant rationales
Circulus itaque et Ellipsis e ae rationalium numero non junt. Porro
igurarum
etiam parabola cubica, et Qvadrato quadatica ot sursolida, aliaeque in
infinitum Paraboloides sunt rationales; xquarum aequationes
sunt pv aeg y3. (vel py aeq. V) sive vaeq V: et pv aeq. yt sive
_ v aeq. S et per aq y, sive vaeq. Y. Et ex Hyperboloidib
eae quoque sunt rationales quae paraboloidum Prationalium reciprocae sunt
ut quarum aequatio Yv aeg. p3. sive vaque  item y v aeq. p sive
vaeque p. et ita porro breviter, omnes cillae curvae Analyticae simpli
rationales sunt, quarum aequationis in Tabula Curvarum simplicium
lineis parallelis horzontalibus, aut perpendiculoribus, inclusae visuntur.
Ex aequationis autem, Curvae analyticae naturam et relationem ad aliquem
axem explicantis, forma statim agnosci potest, an curva secundum axem
qui assumtus est, aut ejus conjugatum sit rationalis: nimirum si aequatio
ad eam reduci potest formam, ut alterutra indeterminatarum v, vel y.
ad nullam ascendat potestatem; unde valorieius statim purc inveniri puotest,
sine ulla radicum extractione. Nulla Non autem nisi dua sunt 
lineae in natura rerum, quae secundum utrumque conjugatorum axium ordinatas
habeant rationales; recta set scilicet ex et ex curvis, Hyperbola. Quod
satis memorabile est Unde illud quoque dicere ausim, post lineam rectam
ipsam Hyperbolicam esse si expressionem analytam spectes simplicissimam
omnium tuceerm, quemadmodum circularis, si constructionem Geometricam
linearum
inturare omnium post rectam linearum simplicissima est. Unde
ex trauscendentib quoque curvis, Logarithimica quoad expressionem crcloiles
cycloeides quoad constructionem simplicissima videri potest, quarum illa ex Hyperbola
haec ex circuloi illa ex ration ibus hc haec ex angulis oritur in spatio
expressis oritur. Quonium autem circulus modo est rationalit, quocunque demum
Porro figurae rationales hanc habent
 axe assuncta, hinc
praerogativam insignem, ut vel exacte, vel certe Arithmetice, sive
per seriem numerorum rationalium infinitam quadrari possint. Hoc
Aeq et
N fig
Et alioquisenalylis
transcendens in
ipsis est perfectior