# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0041
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0041?run=39
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folio 21r, page id 00067993:0041
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 22v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=41
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000041.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 70 lines, status machine
# Lines: 70 recognised, mean confidence 0.95
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

continet
PROSOSI71O X X 1II.
id est inde a vertice incipientis
adraturam figurae analyticae simplicis completae, ) excepta
curva
Hyperbola conica; oportet autem si fgera sit Hyperboloeides, ab ea
sarte sumi figuram, a qua finita ejus area est. Regula autem haec
est: figura analyrica simplex completa feta est ad rectangulum sub altitudine AB
t  
in directis ad co e in reciprocis figs. d est autem ut saepe diximus co exponens
dignitatum ab ordinatis; e, exponens dignitatum proportionalium ab abscissis.
Conicu
Hoc ita demonstratur, Zona  oCoB+B+ COC (excepto Hyperbolae casu) (1)
est ad duorum rectangulorum +B0BoP et oPGoG, summam in directis, differentiam in reciprocis
ut cd ad numerorum co et e. summam indirectis, diffeventiam in reciprocis; prop. 19.
Est autem rectangulum oP.G0G infinite parvum, tunc cum AoB infinite parva est
in directis quidem, e quia tunc GoG est finita, non scilicet major quam recta finita
18. C; quare  rectangulum oP. GoG, sub infinite parva et finita comprehensum infinite
parvum erit; in reciprocis vero, fig. 8. sfita  recta quidem
1G0G  est infinita, posito AoB, vel oGoC esse infinite parvam, rt quoniam
aset, curra rCreoC ipsi AG, p asu mptoto nuspiam occurrit;
rectangulum vero oP. GoG sub infinita et infinite parva comprehensum nihilominus infinite parvum es 
 eS. Nam si rectangulum AoBoC, quod rectangulo o P, GoG est majus, sit
infinite parvum, utique et rectangulum oP. GoG infinite parvum erit. Ipsum autem
rectangulum AoBoC in Hyperboloidibus sive reciptrocis est infinite parrum) si eo
exponens dignitatum ab aeslis ordinatis sit majer quam e, exponens dignitatum
ab abscissis  quod hoc loco, cum Zoma Hyperboloeides infinite quidem
longum , area tamen finitum est, (quemadmodum propositio haec
postulat) contingit, per prop. 22. semper ergo in casu propotitionis nostrae
rectangulum oP. G0G,   aut etiam Ao BoC infinite parvum erit
per artic. 1.
Neglecto ergo rectangulo oD, GoG, infinite parvo, zona BCoB. B. CoC erit ad rectangulum
finitum 1B0BoD, ut co ad cote fig. 6. 7. in Paraboloidibus  el directis; vel ut
Eo ad  differentiam inter co et e, seu ad co - e (quia co major quam C) cum
spatium ad asymptoton are a finitum est, ut diximus) fig. 8. in Hyperboloidibus
sive reciprocis. Ergo si Zonae addas spatium infinite parvum MAo BoC M, ut fiat
figura adua aa completa MA, B, CM, et rectangulo B0DOP aliud
rectangulum infinite parvum A0BoD, G, ut fiat rectangulum A.B. C,G; utique ratio
tice
eadem manebit eritque figura c completa, ad curvam analyticam simplicem constituta, MA, B. C M
ad rectangulum sA, B. C.G sub  maxima sive ultima assumta abscissa A. B
eique respondente ordinata 1B1G comprehensum, ut eo ad  + e fig. 6. 7 in directis,
reciproc (cum scilicet, ut admonnimus, co
in reciprocis hic major esse debeat, quam e  ut  figura completa
vel ut co ad co- e fig. 8,
2. E. D.
longitudine infinita, arcae tamen finitae esse possit)
Scholium.
Quae de infinitis atque infinite parvis huc usque diximus, obscura quibusdam videbuntur,
ut omnia qua nova; sed mediocri meditatione ab unoquoque facile percipientur: qui vero perceperit, fructum agnoscet
Nec refert an tales quantitates sint in terum natura, sufficit enim fictione introduci cum
pl loquendi cogitandique, ac proinde inveniendi pariteras demonstrandi compendia
praebeant, ne semper inscriptis vel circumscriptis uti, et ad absurdum ducere, et
errorem assignabili quovis minorem ostendere necesse sit. Quod tamen ad modum
eorum quae propb. 7. 8. . diximus facile fieri posse constat. Imo si quidem
possibile est directas de his rebus exhiberi demonstrationes, ausim asserere,
non posse  exreei, nisi his quantitatibus fictitiis, infinite parvis, aut infinitis, admissis adde supa prop7. schol
Si quis ergo imposterum queretur de usu harum quantitatum, is aut ignaruitus se
ostendet, aut ingratum. Ignarum quidem si non intelligit, quanta lux accendatur
in tota methodo indivisibilium, et materia quadraturarum; ingratum vero, si
qu utilitatem quam percipit, dissimulat. Neque enim hic ut in Cavaleriana Geometria
hertrecto, ullius lapsus periculum est; nec securitatis causa cogimur, ut Cavalertus,
adordaniatas, parallelas methodum restringere, a et aequalia semper duarum
proximarum ordinatarum intervalla postulare, ipsique nobis ut ille fecit, progrediendi
vias obstruere: sed liberrimo mentis discursu possumus non minus audacterac
tuto curvas quam rectas tractare. Cujus specimen h totus hic libellus
rit, si quis methodi fructum est quaerit; securitatis autem spee peculiare datt
e pae aeriun segut e peit te uu amei neti ae auia isto at
(2)
(3)