# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0046
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0046?run=39
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folio 23v, page id 00067993:0046
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 24r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=46
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000046.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 118 lines, status machine
# Lines: 118 recognised, mean confidence 0.90
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

est autem  aegu.
quod one progresionis geom tricae
demonstravimus, poteramus et demon
strare per scivitiones pulo
in infinitim continuatas pulcherrimo NiC.
Merculoris Hat Holsati e socirtatiRegia
moc to Britannica invento. Quod ita
non meliganter ostendetur ope equationum,
nempe sit quantitat  ea erit:
4. (et patitiqe reducendo has
duas fractiones ad unum aenominatorem)
et bc aequ. (C) fiet a aequ.
eiqua  edem mode temponitur
pC) aequ. ( sine aequal
(b) et fiet  aqu. 2
prortus modo resolvendo in 3
in finitum habebitur a aequ
+4-  81. do
resitua fractio compositam
pogredtenda infra quamlid
quantititem data in diminuatus
sergo si ponamus  aequ. c. tunc
mutatis siginis imparium dimensivnum
psius c fiet  aequi
cincidit cum prop. 26. si
ponamus a aequ
BF et C aeguB
et b aegu AB sine si loco
ergiesinus ad Renonstrarimus prop 2B
opbitet autem series est
decres centes. Sim
ad radicum pararum vel affectarumm
extractiones accommodari potes
quibusdam expertus sum
ne circuli expressione sequi putabant
commensipali dem) etiam quantitates
essensussen dse
Virum 2 saacum Ne
ac feliciter prosecutum,
exscohi sossunt.
Caequ. AB et b aegu. BF, mauente
a aequ. 1F fiet  aequ. B
equ. 1 a 46 +Ae c. quemad modo
aqu. 1 et BF vel BC aequ. F. tunc
priore mous supra posito FG sine.
lict aequ  t +t secundum prop
spatii BFGB erit. +. +7 + +7 et a
B G nict series L.
ut proban poterit ex coroll. 2
mo sproistctu t est
prrendo rursus (aC) aequ. (a)) et (b2
aequ. (b) et (bC) aequ. (CD fiet
sa spatiis saraboloedum
=BF+B - BF ()B + BF X1tB = B 5 9(9)B.
jam ponamus ac aequ (2) et b aegu (t) Jam horum spatiorum ultimae ordinatae assumtae seu bas
- Fs. + Fr. c 2 F9.
per prop. 24. 27. valent
I BF, ( BF
_ AB W AB ( AB
etc. (aqual + t 5)
Ergo per prop. 25. eorum summ seu spatia paraboloidum valebunt
13) BF, 1s BF
1BF = 1IBF etc.
13AB, sB AB 7 ( AB, 9IA AB
Ergo et summa omnium  FG, seu spatium dimidium BFG(G) B nis paraboloi
spatibs alternatim affirma
negatisque aequale sstensum est; ejusdem valorisent
F ponendo ipsi astalem BC, sperie
PRosOSITIO XXX
ose timpe enuntiatae aequabitur. 2. E. 1
Si a dimidio Rectangulo  sub  sinus verso arcus integri et tangente Bc
semiarcu s auferatur series decrescens
(t BC = Et BC =  BC etc
3FAB SL AB 7B AB
one resilsi xcusestabit segmentum circuli arcu integro ejusque subtensa contentum. Oportet
autem arcum BD, esse quadrante hmajorem.
Nam in figura eadem, , si a dimidio rectangulo BEG_ vel CBE, id est a triangulo
DCB anferatur trilineum DCBO, id est  per praecedentem, summa
seriei in propositione enuntiatae, restabit utique segmentum DB0D. Oportet
autem arcum B0D non esse majorem quadrante BE, quoniam alioqui tangens semiarius
major foret quam AB radius. Quod propositione 28. 29. vetitum est. Si D cadat
in E, seu si BOD et BE aequales, sive si ipse arcus sit quadrans, putet fore B(C)
aequalem AE, seu AB.
Cearumue marvrludinemucalculandam
Senit hac propositio ad porsionem a ciculo ejus ve segmento abscindendam) 
ad residuum vel totum datam habent rationem, sunt tamen ni eo negotio
compendia quaedam quae hoc loco exponere nimis prolixum foret. adde inframop 4D cor. 3.
ARosoSIrIO X XX
Si radius circuli sit AB et arcus propositi qd semiquadrante minoris, 80
pangens BC, erit magnitudo arcus ipsius 6
(i1 BC - B) BC 1 BC (BC BBC- s BC etc
1 (0) AB 1L AB 5 (4) AB 7H AB 9Iet AB nIO AB
() BC idem est quod BC dignitas scilicet prima aBC cum secunda sit Ft BC seu
quadratum a BC. At 1t AB. idem est quod 2 dignitas scilicet nulla a AB seu
dignilas cujus exponeus est 0. Quod ex hoc schemate intelligetur:
latus quad. cub. oguid.
Eit BC. idem est quod BC. scribere tamen priore modo maluimus
ut serie; progressio magis appareret. Pocelplopodit ila de srctia
sentus ergo est: si a tangente arcus semiquadrante minoris auferatur 
triens cubi tangentis divisus per quadratum radii; residuo addatur quinta pars surdesolidi
quintae dignituis dangentis per quadrato-quadratum radii; summae rursus detrahatur septina
ante aequ. BF- BF + BF dtc. sine pars septimae dignitatis tangentis divisa per septam dignitatem radii; ta obto
Ponendo AB constantem sue paranetum idemque perpetuo factum intelligatur, proveniet magnitudo urcus. Demonstratio haec est
A trapezio circumscripto, ADCB (circum scripto inquam sectori. ADOB, carcus ditpli
D0B, qui dati B0 duplus est 5) e quaetrapei q id est à  rectangit
2e et summa otnium CG puc areadimidi et ABC  sub radio et tangente, anferatur trilineum DCBO restabit sector ADB
omnim FE A hrcam 7patiidini qui  ad radium applicatus seu per radium divisus, dabit (ex Archimede) dimidium
 c. ardum _DOB, seu arcum B0. Exarea autem trilinei prop. 29. inventa, patet e
rectangulum sub AB rudio, et BC tangente, velere frilineo minutum, seu sectorem ADOB esse
Abim BC, - 1 BC + B) BC _ 1) BC etc. Qui
nce sustiu at BeM Quo valore per AB divit
BC  1
Buc. li as un. 80.
Ergo summa omnium
aequal summae omnium
3, 6) ) etc, usque ad B el  patilim - b F G(5) B
et = 15
(F)1H (F15)