# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0051
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0051?run=39
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folio 26r, page id 00067993:0051
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 25v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=51
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000051.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 64 lines, status machine
# Lines: 64 recognised, mean confidence 0.92
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

scholium
Hinc etiam facile demonstrati potest et quotcunque terminorum etiam
numero finitorum, serrei cujusdam trianguli harmonici posse inveniri
summam. Sint scilicet termini quotcunque continui ex aliqua serie ut trigonalium
vel pyramidalium etc. Reciprocorum, sumti; ut L + L +  +  quorum quatuor
terminorum quaeritur summa. Sumantur ex serie praecedenti termini duo, unus
aeque altus ac L primus assumtus; alter L proxime inferior ipso f novissime
assumto. Horum duorum numerorum L et L per 2 numerum seriei infinitae
summam exprimentem, sive indicem, multiplicatorum difserentia aequatur
summae assumtorum quatuor  + L + L + L. Eodem modo et centeni termini
ex una aliqua harum serierum sumti se  continuo insequentes, duabus
tantum brevissimis operationibus una scilicet subtractione, unaque multiplicatione
in unum possunt addi, quod alioqui vix multarum horarum spatio et incredibili
labore fieret. Nec a tabula opus est hic adscripta ad numeros qui a se
invicem subtrahendi sunt inveniendos; nota est enim  ratio fractionum
nostrarum denominatores, id est numeros figuratos ut quidam vocant, sicce numeros
trianguli Arithmetici, sine tabula inveniendi. Quae omnia distincte  exponi
merentur; usus enim habent ingentes. Sed quoniam non nisi obiter i
hoc loco ista istae attingere volui, suffecerit aditum aperuisse.. Dorro
Triangulum hoc voco Harmonicum, quemadmodum clarissimus quondam Geometra
Blasius Pascalius suum vocabat Arithmeticum, quectia ititesqu
et libellum de eo editum inscripsit. Utrumque iisdem constat numeris, unam
Pascalianum integris, nostrum fractis. Utque series prima apud ipsum est
numerorum progressionis Arithmeticae, v. 2. 3. 4. 5 etc ita prima series nostra
quae illi reciproca est, est. L. f. L. 1. etc. progressionis
est harmonicae que madmodum etiam ostendimus prop. 33. Et quemadmodum
Numeri Arithmetici sive naturales continuo replicati per additionem faciunt
et oatbactone
triangulares; et hi eodem modo replicati pyramidales; et ita porro: Ita
eroubfractione
Harmonici sive arithmeticorum reciproci continuo Treplicati faciunt triangularium
reciprocos, et hi eodem modo reciprocos pyramidalium et. In Triangulo Arithmetico
Pascalii ope seriei sequentis inveniri potest summa terminorum quotcunque 
seriei anteredentis; in nostro harmonico ope seriei praecedentis invenitur summa
sequentis. Series Pascalianae crescunt nostrae decrescunt in infinitum. Hinc
in Pascalic triangulo nullius seriei in infinitum productae summa daripotest finita:
in nostre omnium serierem, in infinitum productarum sumpma Rari potest finita
excepta prima. A Pascalia Triangulum cum in integris consistaerimitur per
e
pot
 longe nostro tractabilius videri posset. At fractiones in nostro non
minus proprietatum esse felendas, et simplicium usque adeo legum capaces
res profecto mira est. Quantae enim alioquin operae sit multas diversorum
denominatorum fractiones in unam addere summam, norunt qui aliquem
calculi usum habent. Exemplicausa: +  + 10 +  + B +  +  facit.
L = 35, 2; seu 35. quode qu expertr cujus veritatem qui experiri p
volet sentiet quam difficulter fractiones tractentur. Porro multa hic
et praeclarae de triangulo harmonico proprietates condi possent, quae facile
materiam justi tractatus datent, si scripturirem Late enim patet ejus resus,
et ad quadraturas, et calculum ejus quod interest in se replicati, et ad combinationes
et ad aleam, et  quas vocant  partitiones porrigitur. Vir celeterrimus
Christianus Hugenius cum circa aleam et incerti aestimationes versaretur deprehendit
seriem reciprocorum trigonalium seu L + L +  +  + etc. esse 2.
Observavit enim hanc seriem singulari quadam ratione ex progressione geometrica
dupla, . Z. 4: Z.  etc posse conflari cujus summa cum sit 
qua idemrationinandi modus ad caeteras su extendi
Et credo i e se madon aliquam esse
hossit, et Pyramidales fractiones
+++ L ete conflant ex fractioneis progressionis qeometricae triplae, necope
et c. utriusque enim seriese etiam, 3; et Trigontrigonales
ex Geometricis quadruplis, nam seriei . . =. = etc. ique ac seriei 1. L. L. L etc. estet summam repperi esse
1
LDCe nempe 4. 
 si quo e  eio n e t stere petii qparturs