# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0058
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0058?run=39
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folio 29v, page id 00067993:0058
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 30r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=58
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000058.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 117 lines, status machine
# Lines: 117 recognised, mean confidence 0.87
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

H verbigratia VV XAYVNEAV,
Demonstratio ita habebitur: Centro C. Asymptotis  L. CA describatur tsa
Hyperbola M NPV7 cujus ordinatae  AV, DP FN, HM, etc.  patet ex P. Gregorii
a S. Vincentio libro de Hyperbola prop. 129. er spatia AC q P e VY XAV
VPDAV, VNFAV, VMHAV, esse proportionalia Logarithmis, XK, RD, SF
TH. ateeadm  unt cinte ese quaur onguerje 
CD ad CA, CF ad CA, CH ad CA, at eadem spatia  positis , t  CA, b.
AF, (nD, et ideo CF, b - (nD; vae et positis AX, n, et CX, b +n) sunt
interse (n = n + n2  nt 8(.  (n7 + (Bi + enq +B dc. per ficta prop. 42
ii
Logaritomi L X K(X a C) idemque est in caeteris. Ergo dicti logunitomi  eodem ertut modo  P. E. D
imo absolute dici poteritus si
sint tales ut set  rectunque AV aegu.
in RX vel in  (K) (X) id est al vel al
aequetur spata YAX 7 Nvel 3,
VA(X)VN, fore
noex vel (1) non tantum
t B n2 8c. vel 3i
(n + 1) ec. sed fore ommino
laequ. n - n Hc. et (I aegu. 3
(nt + Cns d. Nam X Y
otentia Hyperbote
ergo Xγ. erit
ant an-and esc per
prop. 26. cnde area spatii erit
an = an + an3- an c. (per prop
br ab2 eadem arer
2S. Ad odum propi 2u
aequal. al seurectan. AV in KX
equs dordendo un +
uodo  probabitur fore
SROSOSITIO XLIV
spatium Hyperbolae conicae infinite longum, VAC Q ek. M V  etiam area
infinitum est, sive majus qu plano quovis assignabili; ac proinde summa
seriei numerorum progressionis harminicae in infinitum decrescentium,
aequ. ab. seu rectanus CAY, pod
divisu per
+3 a  +  +  e c.
quae hujus spatii aream exprimit (per se dicta prop. 4Z) etiam infinita est.
Zuoniam enim spatia VA DPV, VAFNV, VANMV dc per p dica ad
sunt propostionalia et rectis lognt  B;
)aequ. 2 + abi + abi1 c. 
aer prox. 26. et spatium VA (X)2)
vel als. aequ. abi ht abi 2 a. 3) c. per
prop. 25. ad modam prop. 29 et dividend
per a. erit laequ. bd rg 4 A
TH dc prop. praecedentem
erit spatium sinfinte longum) proportionale ipsi asguptoto sine infidita rectae, CB eti
ato cinfinitae gtedetis ite et Mempe spatium V A C e etC MV infiditlra AA
longitudine infinitum, erit ad spatium finitum verbigentia VA D PV,  ut recta
infinita CBete. (siie Logarithimus ipsius 0. in finite parvi) ad rectam finitam
R D logurithmum ipsius CD. adeoque satii hujus Hyperbolici longitudine infiniti
etium area infinita erit. Superest tantum ut ostendamus rectam CB etc. esse
asymptoton seu non nisi infinito abhinc intervallo occurrere posse curvae Logarithum
ARs T8c. Id vero facile est. Putuib eequenta la culq ale qa ecta +,
po auc sunita enim qualibet recta ordinata  pot est inter  et Cβ
alia m
ecta  alia quacunque aes
P in ratione quacunque: poterit aliqua i recta ut C Fet G.
in ratione d ad RD, ergo d erit Logarithmus rationis CF ad CA, (ut R D est
logarithmns rationis CD ad DA) adeoque se FS e puncto F educta curvae Logari
thmicae occurrens erit ipsi d. aequalis; adeoque data recta major. Ergo ordinata ad curvam
rogarithmicam inter DR et CB potest fieri major recta quavis data, adeoque omnium
maxima Cβdi. est asymptotos sive infinita. Quare et area spatii Hyperbotia
(longitudine infiniti,) VA C ete. MV quae hnic infinila Cβt ec. proportione respondet
infinitae erit ut ostendimus.
saepe hactenus, etiam a Geometris, dubitatum seio, esset ne spatium Hyperbolicuma
Scholium.
 longitudine infinitum, area finitum; quaemadmodum id de alis multis spatiis compertum
est Equidem recte asseruerat Wallisius infinitum esse; sed quoniam ejus sententia
conjectura tantum, licet ingeniosa; conjectura tamen tia, intelatur.
a multis dubitandi causae superfuere. Quas  demonstrutione tollere
cleia operaepretium visum est.
PR0SSirIO XLV.
Quadratura figurae Logarithmicae totius pariter infinitae, 
n dc portionum finitarum; per numeros sive per ordinatas ex curva in asymptoton ductas
pbrassarum. Est autem haec Quadratura absolute Geometrica, nec Logarith morum
constructionem supponit,  sed tantum nolitiam resperbolae ex qua orti  sunt
egahgenerais hac est: R iisdem qua ante posite
rectangulum Ed H X sub  H vel C A numero primario s cujus logarithum
silicet sumtus est, 0, siveaxe; et sub HX duorum numerorum extremorum K, (7
34 (logarithmorum a duobus numeris nunc summa, nunc differentia) et curva Logarithimi
Demonstatio  est. b CC AsycuptCACnoematibue per
suuctu st intelligutur Hyqe boluc euilatererus 6rd 6i 
, se eypeAPd,  eHOV
durtiisFC a diatis obd . at i directum jae en t pon at
peticum a   e el prteste qa e aie 1 dia aspe tedread
 differentia, comprehensum, aequatur spatio  quadrili
sive zonae Tβ p KAF duobus numeris extremis, βT, VH, portione asymptori
LA7, comprehenso. Quod spatum inveniri patet, etiamsi curva non sit constructa.
. major sit, sit enim
cujus ratio  ad CA, sit multiplicata rationis CD a(vel a K) ad CA
cne nit utjus quar claata, recta d ad rectam
)ae qu.  (n dsc. quia
(X) 1) aequ. ab. ergo erit
dute
(quil XK
de ipsis Ah, AD, SF
utibus toganitimita
continuata resp
suatis seu loganthimis in directum
a
mea Hy perbola WH MNPI
symptoti eC
cujus centrum
intelligatur cu
t ductis ordinati
ejus seilicet na
ter et Hyperbolicam,
BA, BBR, NFS
IHT, (guae ipsam CAX secau
punctis X, A, D, F, H,) usque
Asymptoton communem QCB 8C
sus eia vADeI, rata, vaa
leram constantem  AV ductis; appellabimus
araie it
toste