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# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
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Or comme iluys a riem de siumportant que de vois
l’origine des inventions, qui dome ordéant rement le
moyen des oatur qui funt tonsjouis mieux que
l’incention même à cause de sa fecondités pay bien
Ce Thcorene pous estre je qpnd usage pour donner aisement
les augles, les portions des cercles, des sphiere, des cone
voulu en farie part au publie Carc cs originesso qui valent
mieux à mon avis que les invention mêmes, à cause le leur.
et de l’Ellipse, et d’une difinité d’autres figures; pour
couper l’angle en raison donnée, pour trouver les angles,
fecondité et par cequ’elles conticumens en elles  la sounee d les costés estant donnés, et au contraire; le tout sans
une infinité d’autres invensions; pouro qu’on en poura
tirer par une si application sitaine application, combi
acapplimtim Coomme j’ay contrme de l’appeller) on applicatio
lors qu’on s’avisera de la faire comme il faut; j’ay cru
de
tures que nous avons trouuées jusque icy par l’analy se ordinaire
dependent des regles Arithursiques de trouver les sommes des
rangs regles, ou des prgressions de nombres rationaux. Mais
les ordonées du cerdle estant irrationelles, j’ay ft tacre
 chaugere trans transformex le cente enune antre
figure, du nombre de celles que l’appelle rationelles. Or comme
avos  l’est à dire dont les ordonnées sont commensurale
à leurs absaisses pour cet effect j’ay fait le denombrement
de Quantité de ves Metmorphoses; ce et les
ayant essayées, par une combinaison tres aisée Car je pouvol
par ce moyen écrire en une heure de temps plus une liste
tables se servir de tables calculées des sinus, des degrez
et des polygones; pa le tout par un calcul fort aisé
puisque il se fait presque par une simple, et anmoins sans
extraction des raciues, que le calcul des polygones, dont
on s’est seroi jusque icy pour la quadrature du cercle, demande
se fais par extractions continuelles. Si la ligne b
est assez petité on approchera merveillensement en peu
de calculs. Car si b esset ou BC estoit par exempla
. le vayon estant 1, il alors
11000000. 000,0 esi  p, aul antini taates
ensemble servient si peu de chose, qu’on les pourroit
de plus de 50 figues planes ou solides, differentes, et neantmoins negliger hardiment: et si on vouloit
deperdentes de la civculaire.) jar hroune lien tost l moyin
que le punduit x remarquer e passant pour jostifier ce que l’ave
utilité des combinaisons pour trouver des choses
que l’algebr, et si vous voulez l’analyse mese telle qui
La demonstration de ce theoteme ne pent estre donnée
assez clacrement, po en peu de mots, d’unolmaniere qui
puisse verse salisfaire a tort tout le monde pou
estre entendue de tout le monde: neantmoins ce
que j’en diray pourra satis faire ceux qui sont versez
combinaisons n’ont offit en ces matieres. Je me sers pour cet effect, de ce
sçauroit donner. Voita done la transfor-
sert à daer toutes ly ’lalibesin l’infini pour
demme: que je ne demonstre pas par ce qu’il est aise
Jonuer d’autres combes qui leur soyent commensamble au entre de le demonstrer par la Coomethe ordinaire
tronner un nombre nombre infini de figures commensumble a
sçavoir: si pur les trois angles d’un triangle, BEt
passent trois peralleles BC, GE, H F et un des costez et
angles d’un trianule BEF et un des coster EF, est u protonge prolongé tencontre une des paralle les, BC, en C. 1
temme. Trois paralletes BC ,_E, HF, passant par les tivis
d’me des paralleles en C. le rectanglesyla interullet du pouir de tencontre C et de l’angle B
et  l’angle B par le quel paps cette parallele; et souls GH
la distance des deux autres parellebs, G2, HF, seue egn
PGH. (en supposant BGH normale a BC, et CP ega
et parallle a BC:) itera le double du Triangle BEF
De même se MeHQ Égale à BM, il  le
rectamgle QH1 N sera egat lan Trinngle BFL. Etsi
ces bases EF, EL, et C sont infiniment petite, et, en
pour remptir tons l’Espare EB(ED LFE)
la purallete passe, sc avoir BC, et soubs Gt
  des deux autres paralleles GE,HF, sera
egal  au double du Triangle BEF
Cela estant posé soit une courte quelconque
E(5) (2)  la quelle soit representés par un polygone
infinitangle, dont les costes  EF, FL erc. sont infip
niment petits, soit dans une droite quelconque infinie, 
pet (ypris à discretion le point B. du quel soit menels des
tons les rectans GH, HN et sunt infiniment petite
eta afinque les rectangles  BGH, QHN et. remplisse
tout l’espareG(GD(PD Q B à la courbe PG(PD
tout cet espace sera le double de l’autre espace. Et pui
FEC, LFM, (ED (C) seront les tonorantes de la
lignes  lignes divites BE, BF, BL est. dans tons
vous continuez cecy depuis (E) jusque d B, tout le
on costez du Polygone prolongeez sont les toudhante de
entre le quint de l’uyle B, et  le point de l’a rencontredes la combe, comme FEC, AFM, les quell
tmchantes, C CD, qu appliquees odmane AB
continuées jusu à ce qu’elles lencontient  
B C normale a la droite AB dans le point 8.
PG(GDD Q D sera eule à la double Dessilus des points  E. FL. soyent menees des perpendicula
ou ordonnees cun la droite AB. dont sçavoir EG, FH
susdit, Enfin De même de tous les points de la coute donnee
E, so (5) (E) sorent menées des ordonnées EG, (E)(G)
universels de la Germetrie. Et j’en ay tiré quelques cons- et les BC, drvites BC, BC) B(C) soient transferles
qu’ane patium de l’ espare le cete lomite monnelle
les ordoantes, qui leur répondent, prolonguées au tesoin
P. Q. (PD. re dis que spare comprise ncentis
LNerdont les intervalles CGH, HN suy seront infini–
ment petit. Cala pose il est munifeste par le temme
(E), (GD et des touchantes 2C,, (E) (C), EDC)
triangles de bases infiniment petites, qui abentistent tons
droit (ABC, les ordonnées CG, (ED (GD à l’autre BC, les dont les sommets ab utissent tons en b. Or ces bases
tonchantes, EC, (ED (C) soles interceptees BC, BCCD
portit dla portion de la premere compris entre lam
les angles de ce polygone, et cela estant continué par exempl
depurs E jusque a (5) tout l’espace triligne DE B(5)E
ou si vous oitus la courbe arrive jusque a B, et si
premiere combe, le theorems se pourra enoucer generalement segment BE6) B sera composé d’une infinité de
ainsi. Si d’une courbe ou mene à un costés d’un angle
en GP, (1G. D (Y) c’ est à dire la courbe sigure
de l’espace qui compris entre la patarie
soignent les extremites de cette poltion au point B.
i von valltaz bracho logiquods
somaes intercepteor, est dauble du sacte
Ce theoreme est un des plus considerables, et d plus
au sae u  u hst ious
a donnés dans son excellent suvrax de l’Anithmetri
des infuis.) lontes les quadlatures parfaites 4