# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0169
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0169?run=39
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folio 85r, page id 00067993:0169
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=169
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000169.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 143 lines, status machine
# Lines: 143 recognised, mean confidence 0.82
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

922op. 1.
Mem
m in
indesinitae
si per trianguli tres angulos totidem transeant rectae parallelaet Triangulum erit
dimidium Rectanguli sub intervallo duarum paralletarum, et sub intervalta inter angutum
Seguentio tertiae inter angulum per quem transit, et punctum quo latus Triangali hunc angulo ejus oppo
inde ab angulo per quem fransit, a producta intervatlo auguli opu
itur
dugue Trianguli latus,
si opus est productum ei occupsit, cem intercepta; comprohensi
1. et 2
sit Tirangulum ABC. Sd per cujustres angulas transeant parallelae AB. BE. CF
Duarum, pt BE, CF, intervallum  CE. Tertia parallela AD cujus angulo A oppositum
Trianguli latus CB,  productum si opus est, occurrat ipsi AD in  G. Ajo Triangs ulum
rectumu
inter angulum per quem transit, et ptqu
ABC, rectanguli sub AG et CE. dimidium esse. Ad ipsam  pr OC CB productum
quantum satis est ducatum perpendicularis agatur  ex angulo opposit A, perpendiularis
agatur AH. Angulus GB  vel HGA aequalis angulo CBE. sunt ergo duo
hangula rectangula  HG, CEB, similia, eritque CE: AH:: C B: AG, sive
CE in AG aequabitur A H in CB. At Rectang AH in CB. duplum est Trianguli ABC
esta
factum scilicef ex basin altitudinem. Ergo et CE in AG Trianguli ABC duplum sive
Triangulum rectanguli sub AG et CE dimidium erit.
2. E. D.
Schat Cum infinitis modis in eodem  Triangulo, et parallelae duci, et intervalla
eligi possint patet omnia illa Rectangula, hujusmodi ut AGin CE. BL in  Cd BN
ure aequalia inten se cum uni eidemque Triangulo duploeqventurt
miusa proposita
Si a quolibet curvae puncto ad unum anguli recti latus
ducantur ordinatae normales, ad alterum tangentes et  punctis
occursus tangentium agantur perpendiculares ad ondntur earum
ordinatas am et curva alia per intersectiones harum per pen-
dicularium et ordinatam transeat; erit spatium inter axem ordinatarum
e duas ordinatas et curvam secundam comprehensum, spatii
rigo rem in demonstranu prop. 7. non
inter curvam primam et rectas ejus extrema anguli recti propositis centro
jungentes comprehenst, duplum
sit Curva proposita (fig. 3) C (C) (1) c a cujus punctis, c. (O) etc.
ad angulim quendum recturi recti TAB latus AT ducantur tangentes, C7.
autur Ex occursitus tngentarm, perpendiculares 
ad ordinatas _ CB. secubum aucantur et per punct intersectionum, D
transeat curma. D (D) (DD (DM ajo spatium   (DB (D D esse
spatii E A BADC) C duplum. V
cur  pro Ponatur non esse dupluq et differentia inter unum duplum
et alterum simplum sit t inscribantur et siicumsribantur  curae
botcum
C(C) C) polygona, dlonec ultinon instripsi et ultimi circunseripti
differentia sit minor quam E. sitque  iCinscriptum, AC(C) (CBA
et circumscrip tam ACFC(FXCDA. Ex punctis F. (F). ducantur in axem
AB. per pendinares FG. F(G) quae productae si opus est, demissis ex tan-
occursu tangentium, productis si opius est occurrant in punctis. H. () HL. W))
Manifestum est ex propositione praecedenti, rectangulum BGH DBGH
Ne duptum Trianguli ACF, et eodem modo Rectanus.  (G)(1). Trianguli
AF(F),  (idemque foret de caeteris si
qui infigura sequerentur) den.  (L) (G) (BD (DD Trianguli A(F) (C)
form
d. oque spatium  LEB) +RD DB(B) (DD (L) (H) L H. D 8
tuplum polygoni circumscripti AC F(F) C) A Adeoque majus dupto sectoris
(9).
corvilinei AC(C)(CDA. nj Latera Pulygoni inoripti C(1). et et (C) (Cd erc
producantur etiam (cistar tangentem) dum donec ipsi AT occurrant in
M. MM) Unde demissae perpendiculares M N Pvet (MI () (P) secent ipsam,
BNC. (NOYH) et ipsus (B) BC) vel ipsas (B (C) ∞. (BD (CD C)
erit eodem plane modo spatium gradiforme N B(BD (P) (V) P N se
duplum polygoni inscripti AC (C)(C) A.  _ e Et ponamus
in scriptionem polysgonorum eousque prodactam, donec telygoni inscripsi
.
diffare AC(C) aCD differentiqe a  MixtilineoA(C) (C) C item
spatii gradifonis cotstas consi vefa
cd B(B) (D∞ (0) D
adisferentit
diniu iaes
L. Jam patet ex sopositione
praecedenti Trianguli AC(C) duplum esse rectangulum AB(B) (N, ex Erianguli
A(C)(CD duplum esse Rectangulum NB) (B) (V) et ita decaeteris siqua
si ergo et summa Rectangulorum  seu spati hujusmodi quolcunque
en spatium gradiforme, duplum erit summas omnium ejusmodi driangulo (B
rum seu polygoni inscripti. Jam differentia inter Mixtilineum novum
et spatium gradiforime miur est quam L 2. Et disferentia inter spatium
gradiforme ex constirnctione, id est inter Nixlilineum odum et dusolum
prlygonum inscriptum minor est quam Ls2. et inter Polygonum
ptum duplum, et duplum Mcixtilineum propositum minor quam 2
su ex constructione inter ipsa simpla minor quam  2) Ergoi inter perpa
aed
 hixtitineum novum et duplum mixtilineum propositum imripor necestario quam hoc loco quim  
2
generatiter enim patet si inter A et C differentias 
minor quim toce intens
uter D Ce
  1 a ca   .  8
2
entes propositiones 2.3. 4.5. S eglgr praete rrie potest, qui sumdo
derat
(Y) CM
V
CH).
(9.
c0n.
sinvenier demonstratum prop. A
O C.
276+5
es 
S 1. 7
81198
7
Er olyg. ext.
lineum
in caciteream
um sc. Sector
LH Spatium quadcilinemu
seu absegmentum
SE7 Scalare seu Gradiforme
um potygoni exierioris
Si. H scatare seu graditorm
pat.
ucabr e
+
otygomi interiors
onstructione
ni
2
∞)
31
_H ss
Ir Polyg. int
2 c 2 p 9- 15 esi 2E
Ergo explicando C
ga F majus quam E- b . eit et majus
quam id quod est mujus quamE, scli Q ad
seu securba
Ex2 et 5.
Ik2)
Ergo Z ita referuanda, T E eta 
+
qu+ dr
efi2
ex a s +
Esi t iasa pE
P T consistit inttr E. Mais. eo E- est min
ticis
en ea port culla