# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0175
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0175?run=39
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folio 88r, page id 00067993:0175
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 87v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=175
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000175.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 104 lines, status machine
# Lines: 104 recognised, mean confidence 0.91
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Consequentiam autem istam ita ostendo: cum enim duae Quantitates propositae ex Hypothesi, infinita repetitione
unitatis cujusdam communis gignantur; numeri repetitionum, quanquam infinitia ert inter se commensurabiles.
Quod si jam duo Numeri infiniti homogenei, per alium infinitum, homogeneum. Homogeneos ioco qui sunt ejusdem
vel ut superficies ad superficiem, scilicet finita ad finitam, quae omnia eodem recidunt, nam et linea finita
ad lineam finitam, est ut ratio ad pationem  id est ut Numerus, sive ille sit surdus sive rationalis, ad numerum
Deinde: Eodom modo et duo Numeri commensurabiles per ee aliam quendam commensurabilem divisi, producnt
duos alios commensurabiles. Ideoque etiam duo Numeri infinitis Numeri Repetitionum supradicti
quanquam infiniti, attamen inter se commensurabiles, divisi per alium quendam Numerum infmitur
commensurabilem, producent duos numeros commensurabiles finitis seu rationales; ac proinde etiam ante
se ante divisionem, ut producti ex applicatione divisoris communisu
ctorum, agreta commensurabiles,) alia linea commensurabili, c
in finit
homo gnter
constat utique producta a
id est alio Numero infinito hamogenea commensurabili) divisae intelligantur integrum sive
um. idem que
esse numeros  commensurabiles, sive rationem eorum a esse numerum rationale
est, si pro linea spatium intelligatur.
Schol. Huius Lemmatis ut appareat suniversalitas, ususque amplissimus, notandum est
sanc praelura
quotiescunque Curvae propositae aequatio. Cartesii more methodo, per relationem V. ad X. sive appli–
una alterar
catarum ad abscissas abscissarum, ad applicatas interveniente tantum alia quadam recta constante,
a. sive Parametro; expressa est, et vero fieri potest, per naturam aequationis, ut altera
v.g. X. sola paraque a id est ab omni potestate alteriusye  aut sui ipsius ducta libera; ab uno aequatio
nis latere constitui possit; ab altero vero aequationis ipsa X. non reperiatur; et quicquid ab alero
dlatere reseritur, nulla surditate affectum sit; eriter brevius: quoties nalor alterutrius indeter
minatarum, v.g. X. pure et absolute sine asymmetria exhiberi potest. tunc posita X velut applicata
rationalis sciliceddation
y. velut abscissa, semper dici poterit; si abscissae sint ut numerus ad numerum, re
etiam applicatas at inio et portiones a tigura per applicatam abscissas, abscissa, applica
et curva contentas fore commensurabiles. Exempli causa, si curva sit Parabolica aequatio
X ed AA vel E5, y. Quod si jam figua Ad SW A. abscissae sumantur X applicatae y - Ed
AdiS sit parabolica, cujus Axis AW. Gemissiat
positis licet omnibus abscissis AE, arithmetica progrestione, seu instar numerorum naturalium deiriceipis ab mitate
Qit Docemur autem Parabolico ATSdA, abscissae intelligantur esse basi, applicatae vero LS axi parabolae parallelae
rescentibus, applicatae non erunt
mensurabilibus
nilum simpliciaus excuploste proinde Abscissae Trilinei applicatis parabolae, et contram aequales; positis  AL - y. arithmetica progres
concavo
sione cresientibus seu AA, v.g. AX et YI aequalibus, etiam applicatae Ad = X. erunt
hoc Parabolae ac parabolo.
modo
. F = x urmoat sirgoinsionimes v.
apaltus, patet spatium abscissum aequari. summae rectangulo etsi X arithmetie
Numeri punctorum
Radii commusurabile commenturabiles, id est iifinitorum n
infinite parva
dimensionis, seu qui sunt inter se ut linea ad lineam, vel ut Ratio ad Rationem, vel ut linca ad Lineam
inem sunt inter
Itasi duae Linea
Idemque est in parabolocidibus simplicibus, ut voco, in infinitum
compodutis
In Hyperbola autem,  Hyperboloeidibus in infinitum omnibus  si 54. 8558 v.g. dd 
in Cubica simplice
V9. aequationu aX = y. vet aliud est in
implicibus.
intellgam esse sit curva, A et TS, a6voYOI spatiumus sit vg. LBEd F duatus
asympoti aujus TS. parallelis TX, YV, purtioneque Nsymptoti alterius IX et curua V comprehensum
noil refert quamnam comprehendentium altitudnnemne (_, au basin YIN appelles  X. an as
utraque enim abscissi,
TY an W0, assumantur, utraque enim indeterminatarum X vel y. absolute sine
emplicari potest. Posito enim TN vel TY Fsse X. et LV vel. IIH esse V
nihil refert, applicata
cum aequatio sit a = xy. erit y = a, et x = a. Isemque est in Hsperboloctilibus simplicib
a symmetria
Secus in compositis. Unde aeterum cum ex inverntis profundissimi Geometrae P. Grequernodum
1S. Vincentio P. Sarrasa analogiam Logarithmorum ad spatia Hyperbolica deduxerit
sirit sommensurabiles
eos Geometrice hactenus nemo construxerit, cinter se fore
estiditue
adis enum eros
ogarithues corum, quanquam
Continuatio Demonstrationis Theorematis Ad1 
Lemmate ergo praecetente demonstrato, ad Theopematis ipsius IH  demonstrationem, nihil aliud desideratur
quam ut costendamus, si in fig. I. curva ABL sit arcus circuli, AD tangens in A, et AE axis, diametri portio;
I HV ad AP RW, ut numerus ad
numerum inua Resectam Curvae, Resectarumaredationem. Ava  AVSS, relationem
recectaq sint ut muneri AB  Ed siit ut igt terminati
ad omnia puncta Laneae Rectae AT, vel quod eodem redit, parallela ejus aut SWo, aut perpendicularium
AI. TS. ejusmodi aequatione exprimi posse, quae patiatur ut sumtas in Trilineo AYS8∞V 
2
(velut altitudine set AA = AD = Ed resectis, v circulis velut abscissis
Dhujus figuro eosecta
e cme
Iuo cum seuper
figua qulto fuo
sit commen surabilis
erii eliam secto
Quadrantis quadrat
e ideo Cicimfe
rentiae en
Diumetio com
neusarabilis
ieriposse, ut etsi
miss una indeten
arthmete prpor
tianadit crescente,
altera X crescat
commensur abiliter
non tame
serpir
expectandum esse,
crescente.