# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com # Page: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0176 # Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0176?run=39 # Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1 # Folio 88v, page id 00067993:0176 # Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 87r); this page is its left half. # Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=176 # Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000176.jpg # Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 116 lines, status machine # Lines: 116 recognised, mean confidence 0.91 # Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German. # Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text. # Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote". # After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line. A0 AdSEA complementirad Rectam eUlu in AddFA Ad. complementi ASSAA Ceut inquam, his factis valor ipsius X absolute ac pure haberi, sine asgrumptria huberi queo nihil aliud requiritur quam ut ut estendas enuntietur; vel quod idem est, ut magis Germetrine ac minus Algetraice loquamur positis abscissis, g La fore absissa commensurabiles. Hoc enim ostenso sequetur etiam per Lemma 2. etiam portiones figurae abscissas figure Resectarum AS AA, v.g. AV X A et ACd TL A fore commensurabiles. Cumque etiam rectangula Ad vg. AC A ex commensurabilibus facta sint commensurabilia, ergo figurae ips ipsae portiones figurae Resectarum, ve i quipue differentiae inter commensurabilia, complementa minirum et Rectanguli erunt commensurabiles, quare, et Segmenta ACA, ACFA, etc, h segmantis portionibus figur resectirum aequalia sunt commensurabilia erunt At veros ut Aequationem autem quae ipsius x valorem pure atque absolute exprimat, haberi posse, sic ostendo. Demonstratum sinum rectum est Theoremate 2. resectam esse ad radium, ut simus versus est ad appliatam. Posito ergo Resectam circuli AD = AA abscissam complementi figurae Resectarum esse = V. D i naurahira tum circuli esse a. Radium circuli esse a. sinum versum AE esse X. erit vinus r EB = SEaX - X et sequetur ex thcom. 2. aequatio haec: Y - Xa xa. Ergo 2ay - xy = xa Vel transponendo 2a =X y = xa + Xy Ac denique 2aY = X. a + y2 Tax. X unde 2 y- 2aX - X 00 80340 cholion. Ex his apparei, si posita constructione nostra, sive Resectis circuli commensurabiliius i sambus rectis abscissas, ut uisi rectorum hinc in fabula sut AGCA, AHFCA, statim fore commensurabiles, nam positis X, velut commensurabilibus sive cognitis, sinus recti xuct quadam radice, s2ax -x Exprimuntur, ac proinde os s se puut alerumque Nommensurabiles Ergo Triangula quoque AGC AHF quae ex commensurabilibus, sinubus , et cum pentiarum inter omnes X. ipsis acommensumbilibus sinabus rectis, GC, HF, non ideo sunt commensurabilia. Ergo nec portiones cucula egulorum abscissae, quae segmentis commensu rabilibus differunt his ipsis Triangulia. erit sum Rectangulorum, seu portionum o e siuve algmentorum A. Problem Fream. Circuli aut segmenti circularis repraesentare infinita sire numerorum Rationalium.. Cum enim Area segmenti cujuslibet, (quorum maximum est semicirculus) cumponatur ex infinitis Tria juolis ABB, quae duplicata Rectangulis Ad aequalia figuri Resectarum, ASSE. A respondentibus, aequalis sint BAS, gZIIC, sunt portiones autem istae suit differentiae Rectangusorum Ad a complementis ASSAA, et complemen sa fiant ex smubus rectis in differentias resectarum ductis; ideo compendiosioris calculi causa, posito ductis in unitarem L2 vig. Resectas crescere arithmetica progressione, carumque differentias inter se equales infinite parvas esse exponinmr potert e primum Resectae exponamtn deinde sinus recti) inde sinuum rectorum diffe– Birorimrentiae, non opus autem est rectangula ex simubus rectis in Resectarum differentias separpitia Tubila datem seu serie ex poni, cum eae niter aequaliss int 1. Uentas autem non mulas em ducti copitentur, rectatig alvamA) Sinnum Rectorum summa, qua dabunt iareas complementorum Add AA quaerta Tabula eritio sinuum rectorum differentiae EE, vog AG. GH, ductae in Resectas seu Numeros Arithmetice proportionale AA, vy AY. A1I. id est Rectangula dEE, ug vG H duplicata vel Triangula ipsis aequalia ABB duplicata, Elementa segmentorum circularium. Quarta denique Tabla erit sarumarum horum quartae; seu inter Rectangula postremorum Rectanguloruum seu vitronom figuae Resectarum, A5SEA un velsegmentorum duplicatoa erurom sicurae Res estirum ad Rectan) ipsis aequalium ABBB, s cu termini omnes sint inter se et terminis caeterarum Ttm gutum seu erit iptarummet mensurabiles per Theorem. 3. prima autem Tabulae termini possint exhiberi Numeris naturalibus portionum figurae Resecta dlinne crescentibus decinceps ab unitate, ergo hum ultimae Tabulae termini exhiberi poterunt resument et ut Tabula secunida sinuum rectorum X) construatur, resumenda est aequatio ipsius, X 2ay ver abu et - in ipsamum infinito, at = 1. vel 2. vel 3. vel 4 etc. posita minima LA seu unitate inffin Antequam autem ad calculum accegte te parva-quarum utrumque eodem redire manifestum est. aus, praenotandum est, loco zn= 2ay a + ua rectius adhiberi Z= aY3, omnibus scilicet omnium Tab larum terminis dimidiatis, quoniam etiam tegmentas eorumque elementat i portionum figurae resectarum, et elementorum ex quibus conflantur dimisdia sunt. Deinde divisis omnibus per a, sufficit ini summam omnium CX = V a neque enim opus est omnia multiplicari per a, cum e iliq sufficit repetitionum evitandarum causa admoneriu seteno onia per nsicatena i debere vel salter eorum summam. Tabulea Inde jam ad areas portionum AddEA, dupliciter perven otest, primum investigando atea complamentorum, ASd AA, dec clareas rectangulon iltas ab hic subtrahendo Airea autem complementor i ounimut est V. et im AE, et depiem 2. quae estaena senes erit difer C ductaru EE. = Triangulis BCC geude scilicet dimidiatis. Qua Altera harum Portio sive segmentor investiga ndi via haec est Tabula II, nimirum post seriem ejus 1. omniam seriem ejus 2 omnium X. quo coincidit cum serie omnum Resta noniam rectangula haec produco tur ex ipsis X seu A ZI quae non numeros, sed dan tum gradum dimensionis mutat series horum F AddAA. Series erit Redtangulorum commanium sive assignabilium series obinta erit differentia num inter tenminos tertiae e et complementa ationum torum ABBA, quorum area quaerebatur.