# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0198
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0198?run=39
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folio 99v, page id 00067993:0198
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 100r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=198
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000198.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 55 lines, status machine
# Lines: 55 recognised, mean confidence 0.93
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Explicatio.
Eadem opera et centemi Termini ex quacunque serie sumti, se continuo in sequentes, duabus
tantum brevissimis operationibus, una scilicet subtractione, unaque multiplicatione in
unum possunt Nec Tabula opus est, ad numeros qui a se invicem subtrahendi
sunt inveniendos; nota est enim Arithmeticis ratio numeros hujsuo fractionum nostrarum
denominatores, id est Numeros, ut quidam vocant figuratos, sine Tabula invenendi
Demonstratio nullo negotio, eadem prorsus qua duae praecedentes ratione nullo
negotio demonstrari potest. Unde in re praesertim non nisi obiter incidentes verbis parco
Triangulum hoc voco Harmonicum,, quemadmodum Sascatis Clarissimus quond
Geometra Blasius Duscalius, setum inscripsit Ariohmeticum. Quod iisdem constat
numeris, sed integin. Utque series prima apud ipsum est numerorum progressionis
Arithmeticae, 1. 2. 3. 4. 5. etc. ita prima series nostra, quae illi reciproca est,
prope     L esc. est ptrogressionis harmonicae. Utque numeri Arithmetici
continuoci replicati operationibus continuo replicatis per additionem faciunt Trium
gulaes, porami et ii eodem modo replicati pyramidales, ex Ita Numeri Harmro.
nici seu Milmelicom renemnici subtractione continuo replicati, faciant, Triangularium Reciprocos, et hi
summa terminorum quetcuaue
seriei a sequentis inveniri potest seriei praecedentis,; in nostro Harmonico
ope seriei praecedentis, invenitur summa ipsum sequentis.  Pascalius non potest
dare ullius seri in Pascalii Triangulo nullius serici in infinitum productae summus
dari potest, cum ipsa sit infinita. In nostro omnium serierum infinitarum,
ed. B
excepta prima Caeterum Pascalii Triangulum cum
l
in integris consistat, non est adeo difficile, rtprimitia prerogativam tantum habet
primitatis temporis. At fractiones in rostro  simplices usque adeo leges servare
res profecto mira est. Quantae enim opere sit alioquin diversas multas
diversorum denominatorum fractiones in unam addere summam, norunt
qui aliquam calculi usum habent: xempli causa, quis putet:
facis
4 +  + 10 + L0  75  56 + gur ilend esse quod 1  per 2, 
30 2 min
seu  E Z = 24 seu 3 35. cdjus veritatem si quis experini volet
sentiet quam difficulter fractione tractentur. Porro multae hic et praeclarae
poposition
de Triangulo Narmoniae problemata condi possent,  quae facili matiriam tractatus
danen darent, non  justi tractatus darent. Late enim patet ejus usus, et ad qua
draturas, et calclus calculum ejus quod interest in se repilicati, et ad combinationes, et
ad aliam, et quas vocent Partitiones, porregitur. Vir celeberrimus Christiunus Htugenius
cum sirca putheniua circa aliam ratiociumetum est probubilit incerti aestimationes versa.
retur, deprehendit summum in numerorum +1+ +L. A+ Reciprocorum trigonalium,
seu  + Z r _ + L +  etc. esse 2. Hujus ergo seriei summam cum mihi propa
indagandum proposuisset, et hos numeros mira quadum ratione esse ex Geometric pro.
gressionis duplae Z
4 Y 16 insima
notum est, invenit etiam A seriei, reciprocorum trigonalium smmam esse 2. quod
Hanc vero summam cum mihi aliqui aliquot abhinc annis indagandam propoluisset,
felici inquisitione usus, aelia plane methodo ad idem pervenis, sed quae hoc leret
praecipuum, ut ad caeterus omnes, ad sgramidales quoque et, ut verbo, dicam, totum
trangulom Harmonium aperitet viam. Cuinque idam multo post juveri
quod alioqui vix
multerum horarum
spatio, et incodibili
latore fieret.
Asi sripturirem