# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0280
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0280?run=39
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folio 139v, page id 00067993:0280
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 138r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=280
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000280.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 77 lines, status machine
# Lines: 77 recognised, mean confidence 0.85
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

duplicatas
concavut ADEGFA. is infinitis Triangulis AFG. AGC. etc. compleri. et vero hoc eodem Triangula ae quari
estang
ductis, omanifestum est. Eontra vera viissim vero opensum paulo ante All in EG, vel A7 in GF alis rectangula
AO ii GP. vel AM in PH. aequari, ergoque triansulum ACG AG AGE, vel AFG duplicatum rectangulo, AD in qP
vel AM in PH aequabitur, descibantur rectangula haec, rectis AO in Pa, t et AM in Ha translatis, et
batibus sunum gP. et PH. impositis quod si idem fieri intelligatur i quolibet curvae pucto dontulum puncto, quod
in punctis EGF factum e infinita numero rectangula ejusmodi basi IH imposita, constituent patium D2
1dBAH secturi eo Sectori concavo ADEGF A, duplicato, aequale, id est omnibus illis Triangulis numero infinitis ut AFG, AGEci
ipeH,
Sectoram complentibus, duplicatis; aequale.
Manifestum estantem curvam. DDA esse Ho ejusdem
speciei cum priori DEGF. quoniam enim applicatae sunt proportionales, seu AH ad FH, ut DQ ad Eg. figurae erunt
homogentae, pe nisi duae autem figurae planae homogeneat sunt ejusdem speciei, nec nisi laterum rectorum, si qua habent
magnitudine differunt, ac ut verbo dicam, similes sunt uti Ellipsis et circuluse eadem certe aequatione possunt exprii
Datur ego ratio spatii ID EGFH, ad spatium iDd quo suficia applicatarum respondentium, noc quae abscissar
omnuni = 3. Qquare ratio quoque spatii iD E G  ad sectoria concavio daltur  3BA procude spa-
e
ad summas ex abscissis et pro
seu etium DIDEG = EADEGP. Quoniam vero IDEGP est equale his duobus, trupezio IDn P, et sectori concavo edes
simul sumlis; ac eodem modo ADEGP est aequale his duobus; Triangulo ANG, et eidem sectori concquo MDEG simul sumtis
ideo DiD MPD  DEG  G 1 DeG = 2 Au G + 2 n DEG. Et quia in Hyperbola communi D = 2
ideo in ea aequalio  sic inter pretanda est: 2 ID MP + Z ADEG = 2 A (G + 2  DEG. unde cum 2nDEG
utrinque destruatur, manifestum est in Ryperbola commoni aequationem propositam nihil conferre ad spatii curvilinei
quadraturam, neque aliud inde sequi, quam 2ID  P = 2 ApG. vel 1D n P= A_ G. de si utrique addatur Trian–
gulum eFA, fient duo Triangula A AID vel etiam , si duplicentur AID = APG, vel rectangulu
AID. aequale D rectangula ALG. Quae nota est Hyperbolae proprietas, in omnia scilicet rectangularm sut
abscissa et applicata, ubicunque es in opatio asymptoto assumtis, inter se, ac proinde quadrato cuidam certo
ac perpetuo  aequalia esse seu a = xy. Al vero in caeteris  insigni documento veritatis tam
Al vero in caeteris Hyperbolocidibus omnibus (praeter eas
quaest communem revocantur, qualis est: a= Xy) quadraturam spatii curvilinei haberi necesse est. Ut
eloganti harmorria demonstrationum comprobatae.
enim ad aequationem propositam D iD _ P + D n DCG = 2 An G + 2 e DEG redeamus, vel D est major
quin 2, vel. minor, si mujor erit quam sui poliem vel D1 DMP = L.AMG, = Z n DEG = DnDEG
redeamus, pelet inde fieri D1d n C = + AMG _ =  DEG, et 4 1D M P+ D+ D M P vG -NG
d Spatio Hyperbolocidis ad quadrendum proposito, Q. E. F.
et
seu D’_ 2 1DM P - 2 APG - 1dEG
eG
eAi=d +e Ut antem 1DM et AMG. comparemus, considementum e recta e appelletur - b. recta ( nG = c. et (A
Pi- e. erit eMt a = bd et AG = cd A et APG - bd+ cd. Porro 1D = t_Ai - bd + be- b+ 
et touspat iD a P. ex rectangulo B, et trimngulo DZM. Rectangulum autem Px = Be et quia D = 10- n  
= be. eit D5 = be Ergo id n P = be + be vel 2dbe + be Ergo iB Ergo per aegralione
supropositum: 1bbe +. 9be 
positoque nd = b. fiet:
cd, seu
(Ddbe + Y DbC - fCd
4dD= +d
DEG.
tier: 2be + D re - cd - M dEG. addatu utrobique  AP n = bd tiei Pbdet Dbe = Cd + bd -  DEG.
29 - 2d =X
Egb 23dem 28bC - 2cd  +, 2Dbd - 2bd = (nd FG. IdEGP. Detrahatu utrobique rectam
sutum De = rectunt 1Z (+ bC) + D redtenus D ZM (be). Fresidum cognitorum hoc rectargulo detraton
4dd -
aequabitur spatio DEGB. posit. jam D = 3. eut 6b d +6be= 2cd +6b d - 1be + 4de - 12be + 4be
In omnibus his aequationibus non deteminatur utrum altero pajus, sei
utium subtrahens au subtrahendiam, nunc enim unum num altru
maiu.
siet autem hoc loco.
6bd 2cd- 2dbe - 2 be
restur id seri infinte arvam, e deu
si d ponaluim B. seu recta Ad. infinita seu coincidens ipsi AB. necesse est satium BDEGP. aqualictur aequari
2d - 4d
29 BAH (quonim reta BB  infinite longa Triingulum quoddim exhibet  trapezium infinite longum quale istud 10n P
porro pA PG su de btefer d0+ de a pooro ad contrahendam aequationem aidhibenda est signit aequatio, in qua
a=  a1= XCyd) Sumendo scilice  β et S pro exponentibus incognitios. Porro PA pot del d. potest cogitari ut X.
Ps = AiBID se e a b+C,  = dre b +be posto jam 4 = 1. et (8 = 2. ert.
quem admodu
dedb + dE = bd tbe + 2bde, + bed + be + 2DC2. En d 426+ dC =, bd + 3be d + 3bd et beibetd
vel Ego:  dC - 3be d + 3bd e _ = be E d dt vel: aC
=b. Quod in aequatare
30d + 3d e+e
superion ad 1D EGss. in locum ipsus b. substitiu potest. fret:
in exeruplo Hypebololidis a = X Y. fet inquor: 3d’ec +X = 3C - 3d EC - C d + 2bdC = 1d eG P.
aee a
posilo D -3. erit:
abie sebet sed+ d. dese