# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0506
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0506?run=44
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folio 252v, page id 00067993:0506
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 253r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=506
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000506.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 89 lines, status machine
# Lines: 89 recognised, mean confidence 0.91
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Ex his apparet ratio quadrandi Figuras, quas Harmonicas voco, id est quarum applicatae sunt Harmoniae
proportionales. Nota, cum ut ab Hugenio aliisque doctissimis viris observatum est, si sit aliquod solygonum regulare
quantitates harmonice proporcionales. Quod si jaim postremum hoc rursus alii circulo, scilicet duplo minori cr-
cum scriptum intelligatur, continuabitur haec series harmonica in infinitum. Quod si jam communis Numerator invenia
tur, poterit inveniri hujus serei summa. Jam summa omnium circulorum quibus haec polygona circum scripta intelliguntur,
non ascendit ad solidum, quia circuli sunt A propessionis arithmetiae, quare hanc quoque summam potysgonorum necesse
est non ascendere ad solidum. Quid ergo ? erit dimensio quaedam media inter solidum et non salidum planum. M nec hoc esse
potest, cum ducto numeralore in aliam quantitatem, perpetuo, seu si per lineam quandam multiplicetur Tota summa, seu
quilibet terminus ascendat ad solidum. A Haec ergo accurabius exculieada. Forte utrumque planum. Sed hic rorsus malum.
eum alioquin fractiones Arthe Geometice proportionalis summari possint, harmonice non possint. Haec ergo accuratur
exintienda cum constet illos curculos summari posse, aedibite est possit Him summari progressivilla harmonica
polygonorum, (ivento scilice communi numeratore) poterit etiam summari series hifferentarum inter circulos et
Nota si sit Polys gonum (regulare) Erculotirento circumscriptum, aliud duplum trabens laterum numerum, inscriptum,
illa polygo polysgona
teilium inscriplum simile puori circumscripto, termini sunt geometrice proportionales. Hinc summa eorum
in infinilum facile haberi potest. Diff Hinc inta summa progressionis Geometricae septaratiui, et
harmoniae separatui, differentia harum duarum summarum aequabitur summae differentiarum inter
omnia  B. et omnia β. seu inter omnia corcumscripta, Polygona circumscripta, et omnia Polygona
iiscripla, numgro laterum in progressione subdupla continue decrescente. Idem est in Perimetris.
A vero differentia ristarum inter B et B. summa aliunde nota est, aequatur nempe summae ipsorium inscriplor
seu β. quia sunt dimidia circum scriptogumus hese necesse est haberi harmonicorum  summam, etsi
aliter inveniri non potuisset, eodem modo iivenietur terminorum harmonicorum summa, quando adjungi
poterit ejusmodi geometrica, cujus ope hrm harmonica ipsa, detegatur
Ii ista sorit harmonica, 1. . L. 2. 4 +
seu numerus infinities infinitus
Nominator communis est num quadratum divisores arithmetice
ipse Nominator commanis, 1. est numerus
a
a
a a a
1B 20 38 40 50 60.
Erescentes sunt numeri finiti omnes finiti pariteratque infinili, arithmetice proportionales inter 1. et numerum infinitam
rum unitatum determinatum . Quod semper necesse est qui sit v.g. S. ertque haec progressio revera.
a
et.  Est autem D. quadrntillum infinite parvum. St est Numerus horum quadratillorum lineam
a a
tam complentium Nisi autem linea quaedam data exposita sit,
impossibilis est esta inquisitio Hinc appare istam seriem a a a a
si0 36.
16
28
in Aritudetica 
  etc. penitus matura differre, usque adco, ut etsi prior . ..
s0
9
30
etc. ab ista.
dividatur per 
non tamen inde fiat posterior quod tamen necessarium videri posset. Ratio est, quia in posteriote ubi d
2
nulla est determinata quantitas infinitarum unitatum ac proinde nec numerus ipse infinitarum unitatum
Magnitud
nec eurum uni ea ipsa unitas, et res ab Arithmetiea Continuorum ad Authmeticam param revocata
est, tum enim vero, apparet in hac poderiore L L   divisores semper esse finitos, in omne
infinitum quod non est in Aithmetica infinitorum contiuorum. Rem sic ostendo A   EE E
sit  recta AB on partes in finitas punctis C. divisa, et si d qod sit aliud quoddam
D). quod divisum intelligatur primum per lincam AB, deinde per quamlibet CB. et summa quoritur
mnium productorum, quae totidem linea sunt. Divisio enim quadrati per lineam dat lineam.
Colidem inquam lineae sunt, quandocunque numerus ill punctorum (CC) in dividentem incidens, estifinitus. Vides ergo
spatinm
divitores istos omnes a nobis assignabiles esse infinitas, demtis r aggregatum punctorum vel quadratillo
cum infinitorum. Si tamen cogites te incipere a parte B. et primum um pun lineam mujus puncti
sumere, deiide duorum punctorum, postea trium punctorum, et ita porro nunquam egodieris ipso
puncto B. seu latere quod ratilli, eritque sumum omnium abscedes, nisi quantitate quavis data minorem
quae quidem portio lineae, et quadratillo latere infinities major, et tamen adhuc linea assignabiri
infinities minor. AAtque pro summa productorum per omnes divisores finitos producet quadratum
sed cujus crassities, infinities minu est latere quadratillia quodli Jam si quadratillo uno, vel duobus vel tribus velimus
dividere quodratum, necesse est id exporrigi in longitudinem infinitam ut scilicet accipiat latituimem
quodratilli, et tunc inferendo illi hanc lalitudinem relicta sola longitudine, divisimus per quadra-
tillum, eodem modo dividemus per duplum quadrali si in longitudinem infiutam quidem, sed
doni dimidiam vel triculem etc prioris exporrexerimus. Summa omnium linearum infinite
latitudim infinities infinite parvae, longtudinis infinitae, usque adeo ut differentiae quoque earum sint
longitudmis infinitae, do erit ploductum hujus divisiiis omni summae omnium quotienlum divisorum
finilopum productorum quae non nisi differentia nefinite parvn aberi ab ipso quadrato. Nor
persequerer ista, quae in nimeam subtilitatem evanescere videntur, nisi necessaria cedidistemus
ad lollendam quandam difficultatem, quae omnes meas lirca Authimeticam infinitorum
rationes aliquando, turbatist. sit ses
nmum est, per
2d 
harmoni a i mrimgs cutond
a a ista enim divisione summae, quae utique
e 60 4- 48 velsoi a = 19), 57
st linea
si 8. re tes  tua si praeiur ques in dut
De Admiran.
dis Aritime.
ticae infi.
nitorum
Parateris