# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0593
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00067993:0593?run=73
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folio 296r, page id 00067993:0593
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 295v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=593
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000593.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 100 lines, status machine
# Lines: 100 recognised, mean confidence 0.83
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Clum ergo, nunc rectat, ut summam hriangnilarem hujus seriei: + Y.
2) - 1. s. 3. 4) .6. 5) -10.
inveniamus, multiplando vel primum per 1. secundum per 2. Tertium per 3. vel inverso modo multiplicando ultimum per 1
penultimum per 2c. antepenultimum per 3. etc. colligendoque summam.
per. Idum per 2. etc. tunc incipit summa triangularis a minimo.
altimo vel maximo Utrumque exintiamus
Ut autem hujus serici summam incanus,  commodius
2)-1
V au 4)2.
est primum muiti plicatur
9)-9
summemus separatum: V. 4) _ 16) 2s) etc. horm sommam inventr non difficile est, constat enim
1. 4. 9. 86 esse inf infinito dimidium hujius 1. 3. 6. 10. ex Hoc autem maximo det numero unitatum deter.
mnalo s facit infinitarum unitalum determinato β. facit C. Ergo summa V. aY. 9) etc. fait. B)
seu 1. 1.1. 1. 1.C
seu βY seu si (3-Y. ut ho. loco  ( - 7
Restat ut summam ineamus numerorum Triangularium in naturales ductorum. ut J.n
6 10 15 et
in Arithmetia infimlorum idem sit proventus:  2 3
1 6 1
emai
40 75
summa haec cincidit cum summa omnium factorume
1. 3
ve
6 12
6C
avel posus cni
0 2 9 24. 50
fa quadratorum, seu factorum ex numeris, in se surgma omnium
 sun
128 4 1b
factorum ex numeris disperenlibus unitale, + ex differentibus binario, + etc. ternario + etc. quaternario, erc etc.
summa summarum horum rectana ulorum est summa quaesita
Summa omnium quadratorum 1. A. D 16 75. N6 = 
exlinario differcetibus
ervario H
EA 35 9
16 18 28 40, 54
Ope lujus resolutionis, habemus calculum in potestate. Vamaturo nm summa quadratorum 1. 1. 1. I  vicibus.
etc
seu Multiplicetur per (3. A producto detrabatur id quod nunc dicam. Summa nimirum excessuum, quibus
alii facti excedunt quadrata. Excessus autem primus est : 1. 12. 3. 4 5. 6 etc. = (. Secundus ejus duplum,
tertius ejus triplum etc. habemus summa ergo horum excessuum ent summa hujus seriei: + , 3E. 14
Susuma autem horum 1. 2. 3. 4 etc. est ( ergo summa hujus seriei β. , 3 C 4  eto est = β3
Hoc additum ad ( dabit:  +  = 10
ductorum in naturales. Haec summa deberet subtiahi a superione (3 vel  sed est major, errorem
24.
ergo in calculo esse necesse est. Erroris causa est transpositio,  nimirum sub scribenda
sibi erant oblique, ut lineas duxi, ut scilicet series possulabat. Obliqua transpositione apparebit
od
non addendum sed subtrahendum. Unde apparet hoc quoque peculiari esse aritimetiae infinitorum;
ut in ea transponere non liceat, cujus rei rationem ex natura infiniti penderet manifestam est.
4 9 16, 25
2 68
12
61 IhC
36+
patet jam hoc modo 42. 36 28. ilem 48. 40item (4. erc. quae
antea delineationi accesserant, nunc elidi, ob rectificatam trans
positionem, nimirum quae quolibet casu in finito elisacensent
elidi apparet nn at si cavenda sunt etiam in infinito
Breviter: ita cum infinito, agendum est, ut mirufinito agi
posset, nisi sit ratio in contrarium
inveniendae
Ex hac dispositione vera quaedam ac praeclara simmaet ratio
apparet. Pat et f. 1 esse 1. at 4. 2. esse 42-2. Et 9C
Et 9. 6. 3. esse 923 = 3 -6. Et 16. 12. 8. 4. esse 164-4 - 8- 12
etc. Ergo sehimam omnium serierum esse summam subctum
3. B. 1 4. 8. 12,  5. 10. (5. 20. 6. 13. 18. 24. 3
seu 251. 301. 2. 4,1.2. 3. 51.2. 3. 4. 621 2. 3. 4. 5.
6E15.
demlis his:
Hinc  apparet summam Numerotum  griangularium in Natarales
46
25
21.
aloii summa trian-
ductonum aequari summae cuborum, demtae summa
gutarium in naturalis ouitorum minutam. Eritque aequatio haec..
Sum. Num Nat. duct in V. = Sum. Cub.  sum. Num, nat. duct. in V.
Ergo: 2. summa Numerorum Naturalium in Dlares ductorum = Summae cuborum.
seu summa numerorum Naturalium in Triangulares ductorum, dimidia
sa adie  ani at s   si ti dat ali qur
drato minuli, di-
trena ie erer u Naturalis in sa sinitis sa quadeaeo huem summus cilom
46
su
18
Sin ultimum, tunc incipit ab
37. 3
47. 6.
aiee
16)  2)- 30
Eundem esse proventum ostenu,
fiaidum
ublatio aut additio in
 guadum
6. 10, 15
1 1H. 133. 1237 1. 2t. 4.5. 1. 2. 3. 4. 5. 6.