# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068000:0001
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068000:0001?run=73
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 4, 3
# Folio 1r, page id 00068000:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068000&page=1
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068000/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 57 lines, status machine
# Lines: 57 recognised, mean confidence 0.94
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Exercitium ad promovendam
Scientiam Numerorum
(1) proponitur problema in rationalibus Numeris
dato numero a, ex hibere Numerum qui faciat
ut X + = sit quadratus, aut ostendere impossibiltatem
is quadratus sit yu. Et fiet Xx + a = xgy
nam ex aequatione praecedenti est a = xyy - xx. itaque cum a aequetur integro, erit intiger
(2) si s X et y sint integri, etiam a est integer,
(3) si a et y sint integri etiam x est integer.
Esto enim x fractus z: eo, cujus numerator sit Z
et denominator co fractione ad minimos
terminos reducta, seu ita ut Z et co sint primi
inter se. ita ex aequatione Articuli 1. fiet
2ZX acoco = Ze cogus seu 22: c0 = Zyy -aco Ergo
zico est integer, quod est impossibile, cum Z et 10
sint primi inter sei nisi co sit 1 seu nisi X sit
integer. Hic ex supposito fracto concluditur non fractus
(4) sed sicet a et x sint integri, nihil prohibet
saepe V esse fractum; ut mox patebit.
(5) si numeri omnes requirantur integri
necesse est, ad hoc ut priblemque succedat, a esse bc
confactoribus b et C existentibus integris, tatibus
ut brc, sit quadratus, ipse scilicet yque, altem
autem horum confactorum velut b, erit X
Quia enim a = Xyy - XX per artic. 1. Ideo
positis a et y adeoque (per artic. 3) et X, integris;
erit a divisibilis per x. posito ergo a = bc
et b 2X fiet bc = bgu - bb seu b + c = yy
ut asserebatur. Exempli causa si a sit 14
ubi b = 2 et c =7 et b+ 2+7 =g potest esse X = E
nam 2 + 14 = g. potest etiam esse x =7 nam
7 + 14 =9. Nec refert utrum altenter horum
bet C, aegtatur unitati, atter vero ipsi a. verb. grata
a sit 15; quia ergo 15+1 = quadrato 16 ideo potest
X esse 1. nam 1+ 15 = 16 potest etiam X esse 15, nam 15 + B = ∞
(6) si numeri omnes requirantur integri, habetur,
solutio, id est quasitum quodvis possibile vel
impossibilitas. Cim enim dato numeroa integro
bini haberi ni ejus confactores qotiesari possunt patet
int
an et quinam confactore, possint componere
quadratum. Horum jam quilibet potest esse x quaesitus
summa autem confactorum eritquadratus ipse v0. quod si tales confactores non dentur
en
ic.
Et quando a+ est quadratus ideo cum 1 et a sint confactores
problema
impossibile
ipsunque a; X potest esse 1, item a.
(7) si omnes numeri requirantur integu, non alius prinitivas
potest esse a, quam 3. Est enim a primitivus, ergo vini–
confactores non possunt esse alii quam a et 1. Ergo
per artic. 5.) a + 1 = yy seu a = gy = 1 - = y+ 1, y -1.
Ergo + 1 est a, et 67 = 1 est 1. Ergo y = 2 Ero y41 seu a est =3
majo
smine
e Rut 1oed  123 4 4 341  2