# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068000:0002
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068000:0002?run=73
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 4, 3
# Folio 1v, page id 00068000:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068000&page=2
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068000/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 57 lines, status machine
# Lines: 57 recognised, mean confidence 0.94
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

(8) si omnes numeri requiruntur integri, et postulentur
a ut x primi inter se, necesse est, ad hoc ut problema sit
possibile datum a unitate auctum facere quadratum, qui
quadhatus arit yus sed X exit 1. Neque enim ductu
numerorum primorum inter se unus nisi sit unitas atterius
Factor esse potest. primos autem inter se vocamus quid
non aliam habent communem mensuram quam a. Unitate.
(9) si soli a ut x requirantur integri, datus :
scilicet et quaesitus, nec referat utrum resultans
gu sit integer vel non; Et y sit v: ce fractione
ad minimos terminos redacta, ut proinde v et co sint
integri primi inter se, co abeunte in 1, eo casu quo y est integer;
ponaturque a = bc, et X = bq ipso b existenti maxima
mensura ipsorum a et Z et abeunte in I eo casu
quo a et x sunt primi inter se. His positis
dico fore X = bcoco. Nam in aequatione articuli 1. pro X substituendo bZ et
prou substituendo vico, fiet bbZZ coco + bccoco = bZvV
seu fiet bZ7 coco + ccoco = Zvv. Hine cum ZVV
dividi possit per coco, sed ve et coco non possint
habere communem mensuramex hypothesi)
necesse est ut Z dividi possit per coco: Rursus quia (eodem argumento) quia CCd: Z est integer, seu
cedeo dividi potest per Z, sed Zcet c, sunt primi inter se
communis rytusura
(alioqui b non esset maxima ipsorm bc et bZ contra hypoth.)
neresse est coco dividi posse perz. Hinc cum
pauloante ostensum sit etiam Z dividi posse per coro;
consequens est Z et coco esse numeros inter se aequales,
Et proinde cum posuerimus X esse bZ fiet x = bcoco
(10) iisdem positis necesse est cc esse majorem quam 4bcoco
Nam ex aequatione articuli praecedentis pro Z ponendo oco
fiet bcor +c = DV, seu C = VV - bco seu
C= V + cocrb, v- 10co rb, jam in integris prductum ex duobus unitale majoribus
est majus prodtente quovis. Ergo c est major quam V + coco rb,
item c est major quam V = coco 1b. Ergo et C est major
Cc major est quam Abc) T. Encipitur casus, quo difrrentia inier B v et excessus ipsius _super Cdco sb est mins mitate.
quam horum differentia, quae est 200c0 1b, seu
(11) iisdem positis, et posito praeterona a et X esse
integros prines inter se, X est quadratus nempe coco, nam
cum X sit bcoco per pracedentem artic. P0 casu b abit in 1.
(12) iisdem positis, si a et X sint integri primi inter se,
trabebit a duos confactores d ut e, quorum differentia erit
du plum quadrati et is quadratus erit X. veluti si a sit 33
 et X sit 4, et d sit 3, et e sit 11 erit. 11 - 3 = 8 = 2. 4 =2X
et 4+33 = 49. Nam ex aequatione articuli 9, ubi erat b7Z coco
+Ccoe = ZVD, pro Zponendo coco (per artic. 9) et pro b ponendo 1
(ex hyp. articuli praesentis et praecedentis) et pro c ponerdo a
(nam cum sit bc La, fatiendo b = 1 fit C = a) prodibit ct + a = vB, seu a =. VV - co = v+coco, B - coco
seu a in  = BCd, v. coco. sunt ergo duo confactores
ipsius a, quorum opus minor, nempe d, sit v. coco, alter major nempe e,
nempe jit Dxcoco,  fiet e- d = 2cded, ipso coed existente X, piae praeced.
(13) si ipsorum  et X maxima commenis mensura, b sit
quadratat BB tunc C (quotiem ex a divis ∞ per b) habebit
binos confactores, d et e, quonum differentia divisa
= seu b22t c = V. Cold. Iaz
Zuvicoco est integer, cum sit
aequalis integro b22 + C
Vi seu ipsius YbcoE)