# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068000:0005
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068000:0005?run=73
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 4, 3
# Folio 3r, page id 00068000:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068000&page=5
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068000/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 67 lines, status machine
# Lines: 67 recognised, mean confidence 0.94
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Exercitium ad promovendam
scientia m Numerorum
(1) proponitur problema in rationalibus Numeris
dato numero a, exhibere numerum , qui faciat
ut X + a sit quadratus aut ostendere impossi-
bilitatem Is quadratus sit yy, et fiet:
XX + a = X yy
(2) si x et y sint integri etiam a est integer,
nam ex aequatione praecedenti est a = Xyy -XX. itaque cum a aequetur integer, erit intiger.
(3) si a et y sint integri, etiam X est integer.
Esto enim X fractus Z: co cujus numerator sit Z.
et denominator cd, fractione ad minimos terminos
redacta, seu ita ut Z et co sint integri primi inter se,
ita ex aequatione particuli primi fiet ZZ + acoo = = coyy
seu ZZ: cd = Zyy = aco. Ergo t Z7: co
primi inter se, nisi co sit 1 seu nisi X sit integet. Hic ex supposito fracto concluditurnom fractus
est integer quod est impossibile, cum Z et cd sint
(4) Sed licet a et X sint integri, nihil prohibet
saepe y esse fractum, ut mox patebit
(5) Si numeri omnes requirantur integri necesse
est, ad hoc ut problema succedat,  a esse bc, itu confactonibus
factores b tcCC esse tales,ut bra sit quadratis
confactoribus b et c existentibus integris, utceretalibas, ut ateut btc
sit quadratus, ipse scilicet gy. Quia enim a = xgy - xx
per artic. 1. ideo positis a et _y integs adeoque (pet artic. 3)
et X integris, erit a divisibilis per X. Posito ergo
a = bc,  et b = X, fiet bc = bgy - bb
seu b + c = yy, ut asserebatur Nec refert et si
alteruter horum, b vel c, aequetur unitati, altere
id eo potest X esse 1, pootest et nam 6 1+  1 + 15 = 16, potest etiam X esse 15, nam 15+ 15 = 10
d
1
(6) Si numeri omnes requirantur integri habetur
possibil
solutio, id est quaesitum quod visque vel impossibilitas.
Cum enim dato numero a, integro haberi possint bini
ejus confactores, quatis quoties hberi pe dani possunt; patet an, et
patet quinam confactones possint componere quadratum
torum jam quilibet potest esse X quaesitus; summa autem
d
confactorum erit quad ratuta ipset yu Et sum a + 1
est quadratus, ea ideo cum 1 et a sint confactores ipsius a,
ipsorum, a X potest esse 1, item a.
(7) Si omnes numeri requirantur integri, non
alius primitivus potest esse a, quam 3. Esto enim
a primitivus ergoqbini confactores non possunt alii esse
quam a et l. Eirgo a (per artic. 5) a + 1, = yy
seu a = yy - 1 = y+ 1, y-1 Ergo 741 est a, et   - 1 est 1.
Ergo y = 2 Ergo y + 1 seu a  est = 3, et X erit 1 vel h, nam 1+ Z = 4, et 3 + 5 =4
(3) si omnes numeri requirantur integri; sintque et possulentur
a et X primi inter se necesse est  adhoc, ut problema
sit possibile, datum a unitate unitate auctum
facere quadratum, qui quadratus erit yy. x autem erit l.
Neque enim aliter numerorum primorum interse unus
nisi sit unitas altebius factor esse potest. primos autem
aer se uo camus qui noqe pliam ratus cotiarem persenuu quamu auritateur.
talibus
Halter autem horum confactorum
(velut b) erit X
a st 14 obi b, 2, et C, 7
ot, 2 nam 2 + 14 =9
Exempli causa
et 2 + 7 = 9
potest etiam esse X, 2; nam 7+ 14 =9
quoi si tales confactores non sentur
problemaerit impossibile per
articulum praecedentem