# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068004:0010
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068004:0010?run=73
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 4, 7
# Folio 5v, page id 00068004:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068004&page=10
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068004/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 64 lines, status machine
# Lines: 64 recognised, mean confidence 0.89
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Tametsi autem radices.  cubicae semper ex binomiis
ejusmodi analytice
et residuis, extrahi non possint.  patet tamen
semper in illis inesse, et operatione geometrica inveniri, quemadmodum
aliae radices surdae: ac proinde imaginarias semper destrun, ac
summam duarum hujusmodi radicum Cubicarum semper esse realem;
tametsi destruendi modus non sit semper enuntiabilis
qua tamen ausa dubit ardi relinquatur; duplici demonstratione
generali rem conficiemus, quae rationales irrationalésve non
moretur. Prior demonstratio huc redit. Omnis quantitas
quae satisfacit aequationi cubicae triradicalis Reguta Formula
Cardanica satisfacit aequationi cubicae ttabili om triradicalii
formula
omnis quantitas quae satisfacit aequationi cuidam est erus radix.
Ergo formula Cardanica est (aequationis cubicae triradicalis radix.
Omnis ac porro radix aequationis cubicae triradicalis, est quantitas
realis (ex hypothesi ideo enim triradicalem vocamus quod tres habet
dx Cubiccarulla
radices reales neque vero plures quam tres habere potest). Ergo formuta
Cardanica (etiam tum eum ex cubica triradicali ducibur) est quantitas
realis. Superest ergo tantum ut ostendamus aequationem formulam
Cardanicam etiam aequationi Cubicae tri- radicali satisfacere, quod
Cubicarum resolutime asparet, si in aequatione ejusmodi, ut X X = qX - Y ( 0.
substituendo valorem ipsius X, nempe O = + YY-
+17
omnia destruantur. Quod fieri ito apparebis.  7
A3 + 3 A B + 3 AB
TA. B  q+
17
+ 12
9O2 tr 4, -9182
=+ B3
+Z - 1
e
H qualem illam esse
quae regulas Cardani
respuere credebatur,
dudum ostensum est
videtatur inprimis
Scholenius in appendice
de aequationum
X nam ABA
ut facils calculo
estendi potest
semper ergo formula pardanica satis facit, nec refert major
minorve sit 4, quam Y.
Altera demonstratio haec est: sit aequatio data
Lajo,  masor quaens Y rudicem  iiss
ajo, radicem esse e  seu valorem iptius X esse s( = + 5+ v q + (B
4
quanquam sit 4 major quam Y. Probo, quia tunc sote semper erit
2⊓ O =+ N _ r X + su ac. et B    H ~ - 1 -ac
27
seu A+B
ac proinde summa utrius radicis cubicae erit X, ut proponebatur:
Assumtum sic ostendo: Sb Ponatur A vel B major minorve esse quam
assignata quantitas, et excessus vel defectus sit +d, quae d sit
erit ergo A⊓ X + d + Y-ac, et Bp = + d - Y- ac. nam calclus
ejusmodi binomiorum ostendit, quantitates reales in binomio pariter ac residuo
este easdem nec differentiam nisi in signis quantitatis imaginatite
sumta pro ac quan-
titate quamcunque calcul
obtulerit
1F4