# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com # Page: https://leibnizlegible.com/page/00068004:0020 # Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068004:0020?run=73 # Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 4, 7 # Folio 10v, page id 00068004:0020 # Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 9r); this page is its left half. # Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068004&page=20 # Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068004/jpgs/default/00000020.jpg # Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 86 lines, status machine # Lines: 86 recognised, mean confidence 0.86 # Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German. # Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text. # Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote". # After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line. substituendo: XH A + B B (B = + sr- + 3AB + 3 A atorriq 2102 + .q +9.(9405.9 25LHZIOTHLEE RBCIB ANHOVKEA ue e 42 Supponirem ca enim requirit ut valor bicomii in numeris vero propinquis inveniatur quid autem invenias valorem quantitatis ejus modisE. Mea vero has diffici Singulari quodam principio nititur, et ad omnes et ipsa gradus pertingit. Quam alius cum otium erit explicabo. Allera demonstratio haec est: sit aequatio data: XX - qX -r p, o. ajo raduem sive valorem ipsius X realem esse sr: (02 + rm + (O7 - 4 sit q major quam Y.. probo, quia tunc semper A ert Quanquam probo, quia tunc semper erit: Ap X + 1 - et BH X = Y - sumta pro c quantitate (affirmativa) quamcunue calculus obtuterit. ac proinde A+B erit X ut proponebatur. Assumtum sic ostendo: Ponatur A vel B major minorve quam assignata quantitas, et excessus vel defectus sit 4d. erit ergo A, X + d + s- ac. et B, X +d = s- ac. nam calculus ostendit semper quantitates reales in cubi pariter atque in in binomio et residtuo radicis cuticae esse (easdem, nec differentiam esse nisi in signis imaginariae quantitatis intervenientis. compendi autem causa ponamus X + d b. fiet A,, b + f- c. et B,, b - 1 - c et A +X3 b7 +3b f - = 3bc - c ( - c.. jam idem A = + s+Y -q reales debent ergo saltem quantitates Chorum duorum ipsius A valorum esse inter se aequales eritu b3 - 3bc p Y. Aliunde autem scimus si sit binomium, ut hoc loco A 2 + 1+X- 9 sunc ubicam necune it 4, radicem, ex 4, differentia quadratorum partium, =, et Y. aequari differentiae quadrator tau analus partium partrum radicis, AAp, b + Y- c., quae differentia est b + c. d est b minus -C magis et ergo 4 H b + c. et CY) 4- b7. quem ipsius C valorem innserendo aequationi jan inventae, ab expectati b3- 3bc pr. fiet 8b2 - 29b - r p0. Quae coincidit Aequationi cubicae datae, de cujus resolutione quaeritur, nn tato tantum nomine incognitae, seu pro X ponendo 2b. erit ergo XH 2b. et bp X. tam prosuimus bp X + d. Ergo dp, 0. Erat autem d’excessis vel defectus. Is ergo nullus, adeoque exacte A, (X et B H(Sin S ) X = f - c. ac proinde A+ B, id est + 27 ((3) Y + SY -9 + s Nec qunquam st 2 major qlani 2 47 quam, quod oscendendum proponebatur. erit X + Y-C + L - 1-c 1 est A. nde intrarium sente qu arta segtim duntercotat e has for expressiones e Cardanicas semper esse superest ut estend Quaniam ergo demonstra ietu rectas et cdmitsendas non obstantibus imaginariis intervenientibus; ideoque omnium aequasionum ubicam ec proinde et quadhaticarum resolutionem haberi qualis eptai posit. Superest ut patefaciamus frastra optari metiores. Ac primum satis patet formatas hum patet calculum irrationalium cuticarum intelligenti finstra Sed quenium hujus rei in quibus absint ecerit ostendisse paucis. quaecunque tertari inclilite tertari mutationem harum formularum in alia utilita tes haberi possint ab aliis ex pectari, jam ab his haberi. primum enim incognitae vator simplicissimis terminis Analyticis expossi est. Analyticis inquam, frustra enim Cartesius aliam notam qua non ad rationi sed angulitri sectio nem referretur introduere Voluit; foret enim Calcali cmalytici incepax ea non nota Geometrica non analytica, nec calculi capax quoniam sidoperationes qui auithmetiras non referretur, adeoque nnter calculandum maneret invariabilis nec quicquam ex ipsa daceretur, quod in his secuest. Nam secundo hae radices intmam problematis naturam pate faciunt; et tum multa aliu, tum exempli causa illud ostende ares nullo negetio ostendunt a Cartesio aliisque sumtum non demonstratum; omnem aequationem Cubicam desnitnibilem esse oatroralem, et quae per Incognitam + aut -. divisore aliquo rationali ultimi termini prationalis, dividi non possit, esse solidam Denique earum ope rotiones sive in ineris Tertio earum ope radices depossiones omnes radinem radi inveniuntur, sine tentaminivus illis infinitis, quae Carte sinnametho do per comparationes aequationum datarum, eu ais arbitrariis varie protuctis ex aliis factis quaerendae essent incretivili labore. Denique si este raicora his _ radicibu nec constructio Geometrica de est pludent enim exsectione vel gationis e si imaginarie interveniam anguli. Adeoque earum ope omnia problemata mtea qua aequationibus include possunt, reduantur ad du haec duo- 5Y - sr- qu iligo quod superest methoduum inveni genhae unus ope inve in numeris inviniri + r- cum int inter veniunt imaginariae possint radices binomiorum, etiam quae nonnihil ab illa diver sa est quam Scote Schotenius suis commpntariis adjecit Jum ergo