# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068035:0010
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068035:0010?run=73
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 5, 17
# Folio 5v, page id 00068035:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068035&page=10
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068035/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 116 lines, status machine
# Lines: 116 recognised, mean confidence 0.88
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

et proinde curva erit ex nunero reciprocarum namirum sit si sit.
p BCi P X2D
aq y2 t si VB2 et Z1 1. fiet p X2  y2
Qu.Z  idem quod p X  y sive P aeq. y. sive p aq. yx.
rost. 
Potito ergo GF _q. X et FC aeq. y.
Se
exite e (F ad GC,  quosacto curva CC1) erit Hyperbola, ajo fore sex
theoremate) EF intervallum tangentis CE, ab ordmata FC, in ave divectrice G
sumtum, ad GF abscissam a puncto firo G in cipientem, ut est Z. v ad Z. id
est hoc loco ut 1 - 2 ad. 1. seu ut -1 ad 1. id est GF et FE erunt aequales
tantumque signum negativum denotat  FE non versus G ut abscissam GF
Sed in contrarias partes fuisse sumendam.
esse patet aliunde constat.
idque etiam in Hyperbola verum
Demonstratio: Sit curva Analytica simplex rationalis C (C). directrix
s A B (B) ab  punstum fixum A abscissa ex directricera puncto
fixo incipiens AB. ordicent vet A(B ordinata BCde G (B) (, g. qoo
si jam sit qua ajo si sit  BY ad (AB5 ut
non directri A FF) punctum Fixum A. abscissa ex directrice a puncto fixo incipiens
aseundum exponentem  EF. A(F) ordinata FC. (F) C. asl C∞ pereto sitque ut
FG ad F) C,; ad ut AB2 ad AB, 2 id est patentiae ipsarum absussarum
sumta dignitates potentiae ipsarum abscissarum soundum exponentem et _ sit et Z. atque V,
numeri jptegri et z differentia inter
y et v. sit 1. vel si differentia
oda 
inter Z. et V sit majoi quam 1. sit saltem Zaq. lnde tet
necesse est, ut curva sit rationalis, seu ut alterntra incognitarum, abscipsa
scilicet vel ordinata ad nullum (quam sumplicem dignitatem assurgat; ac proinde
sit cD. differentia ordina in numeris haberi possit tant ujo fore et curvam in puncto C tangat recta
EC, directrici occurrens in E. ajo fere EF intrrallum tangentis, ab
orimata FC; sumtum in directrice; fore ad AF B. .
secundum quam  exponcus ensecundum quem sumtae sunt oodia abscissa ad exponentem
7 seandum quem sumtae sunt dignitates ordinatarum.
EF ad  talis assumi qualem diximus esse ad AF. juncta  osteydendum
tantum est junctam AEC tangere curvam in puncto C. nam unde e corverso si EC
tangire supponatur sequitur ipsam EF esse qualem diximus alioquii duae rectae eandem
curvam in eodem puncto tangent quod absurdum esse dudum ostensum est. Ex assumta
autem EC qualem dixinus ductam EC no tangere sic ostendemus; ponatur  non esse
tangens ergo secubit adhuc alibi _ ut in (C) ducatur ex (C) ordinata (C) C) c
sit prioc ea AF sit appelletur  X posterior vero A(F) sitque F
X, +  posita F () earum differentiam A vocari f. ubi si quidem A(F)
sumamus autem facilitatis causa calculum casum priorem, quoniam omnia eodem modo
differentiam inter zet vel se
ent lad yqd ady ut
Ponatur hujusmodi rectam
it major quam AF erit A(F) aequal X+f. si sit minor erit X- f.
Eodem modo ordinata posita y. ahitelligi possunt in posteriore
adeoque sumamus A(F) aequal X+ f. ut in figura. vi
Eodem modo abscissa prio ordinata
erentiat. iqua
Setat apeata aequal deonamus jam
posita
tate
erit
1 1. 3
nor quam vi
se+ oetut ut scilicet
valor ordinatae pure et rationaliter haberi asossit derit. F ad (F) (C) ad Fe
ut AFL ad A (F) adqu entenest ad A) E AF, X ad XF5, 
_CX
ve
X 4
ad  4 1Xf + si
ad X3 + 3Xf + 3Xf + f3
ad Je prout scilicet (.
 numergs Z
ad _ est
XI ad X4 + 4XG +6X f +4xβ + 
etc
etc
et
id est
nam vicipio
jam o ex hyposkesi ob triongula similia EFC C D(C) erit  CD seuf ad B(C) s.d
seu ut DF ad FC, seu _ erit fad D ut X ad V
ergo diendo x et dividendo ad ad y, ut  =f( vel +2Xf + f  velt 3 Xf +3X f+ f et
 1a
ad X vel X vel X  Ergo erit +
ad
X velad X
id est naratione
constructionem
+2Xf
quod est absurdum et contra hypothesin debet enim ei esse aqualis quod sic ad X
vec ad X:
velt 3X25
ad 23
vel+3f
ad X
ostendo. ob Trianguen similia EFC, CD(C) erit C) ad FC ut CD ad EF, id est antem
AE ad EF ad AE, ut Z- D ad Z ex constructione, id est, quia Z. D aequal 1. ut 1 ad Z. adeoque ratio composita
ex cD ad EF, et EF ad AE, seu ratio CD ad AE aequalis compositae ex DC) ad FC et 1 ad Z
causas
exampli in fia. curva aliqui
recipoa C(C). divectrice
GF, puncto fixo G.
abscissa GFaeq X.
ordinata FC q. y.
to vaeq. 2. et Zaeq. 1.
adeoque posito
P X2 aeq. y idem
esse pod phaeq yx.
adinatarm
Signitates scilice tal
t ad diguitates v
obpuntum exponcatem 2
les positis ajo recta mE C (C)
quae curvam in duobus punctis
Saet C. (C). secet duci
non posse, si sit demissa
tarum ad
punctum ipsi A mlinius num
ade seu inter A ex (F) nam
eligere possumus, erit A(F) aequat
290