# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068035:0013
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068035:0013?run=73
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 5, 17
# Folio 7r, page id 00068035:0013
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068035&page=13
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068035/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 92 lines, status machine
# Lines: 92 recognised, mean confidence 0.88
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

sit Parabola cubica. C (() E. directrix AB (B) ad quam ordinatae
CB. () (B) punctum fixum A. abscissae AB. A(B) recta TC (C)
secans curram in punctis C. (C) sit AB aequal. X. BC aequal. y.
A B B vel C D aequal. f.
DC aequal. d erit A(B) aequal. X + f. et
B(C) aequal. y + d. Jam ex natura Parabolae cubicae: curus parameta
est p. erit ptea aeqat,
ad BC seu +rad y
sit CD ad D(C) seu TB ad BC, sea CD ad D(C) seu f ad d ratio quae 3y adF
seu quae 33  3y ad pry; seu quae 3p X ad pr y, seu quae 3X ad y
erit + ad y ut 3X ad y. sive t aequal. 3X. Cumque sint pX aqual y et
p f aequal. 37 d
his in aequatione PX + P f aequal. Y + 3yd +3yd +d3
utrinque sublatis restabit
est ergo rectam 
3yd + d34 qual. 0. quod est absurdum. Impossibile
ocre  rectum in duobus punctis C. (C). si TB
aequal 3 AB seu t aequal 3X. Tanget igitur, quod erat demonstrandum.
The Theorema:
si in Curvae rationalis simplicis directrice,  intervaltum tangentis et
ordinatae est ad abscissum ut expnens digultatis. Ex hac demonstrandi forma etiam illud
duco esse etiam p f  aeq. 3yd2 vela p f aeq. d3, hoc enim reapse assumto eodem modo
demonstrabitur TC consequenter inventam tangere, jam unam curvam non nisi una tangit recta
ergo necessario eut = aeq se eq  sed hoc absurdum et falsum, et destmit consu-
quentia hypothesin, iud directe contratium concludit. Illud tanten hinc concludere poterimus nulla arte
duci posse rectam T C (C) ita curvam secantem, ut sit in duobus punctis, ut sit f ad d.
ut et ad pE. vel ut sit
P ad 31 ut ut Pf ad .
paraboloeidesseue
si ondinat sit curva  qua ordinatae, sint in multiplicata ratione abscissarum ex diretriae, secundum
ortio divechicim
aliquem numerum eet exponentem, erit intervaltum tangentism et ordinatamsdem st ad idem punctum
concurrenti, sumtum in directri intercepta, ut ad abscissam, ut num seu portionem directricis inter punctum
fixum, et ordinatam, interceptam, ut numerus exponens ad unitatam ad numerum exponentem
sit curva AH C A C(C) directrix AB(B) ad quam ex curva
ordinatae BC, (B)(C) ajo si sit sempe
(triplicata) aliave ratione AB ad A(B) tunc fore TB indervullum portionem
directricis intercepta inter tangentem FC et ordmnotam CB, ad AB. abscissam
seu portionem inter A punctum fixum, et BC ordinatam cm intercipitur, ut
ad 2 (vel ad 3) vel secundum alium numerum multiplicatae rationis exponentem
bola cubica erit +B ad AB, ut 1. ad 3
quia BC ordinatae in ea sunt ut cubi abscissarum. sit BC AB Nq. X. sit B(B) in partes ab
A aversas sumta, aequalis b. adeoque A(B) aq.  X + f eodem modo sit BC aequasys. et
D(C) disferentia inter BC ex B)(D) aequal. d. erit B) (C) aequal y + d
y ad y et ds ut Quadratasin herbosso
atque B ad AB, ut
velus Cu bisin Parabo lasabic
velat Q vadrato quadtata)
Parmbola A. etc
l
vet est uel X3
sela +t ad
X + 2XF + f2
X + 2Xb+rb + B
x axb +6b ansi  4
aj0 TC curram tangere in puncto C. Quod ut probetur demonstrati
vel 3 in Parabola cubica
vel 4 in Amanto qua Lemma: si recta curvam cujus audinatae primum hoc Lemma, si 
recta F C(C) curvam Paraboloeidem secet in quobus punctis C. (1) non
potest esse d DC ED ad D(C), seu B adra, seu TB ad BC seu 7B) ad B(C
Nam si b adfd. ut yad 2Y vel 3Y vel 4
vest si ut b
nam si exempli causa d ad C ut 2bX ad YL, et
 erit ved ad Y ut b ad 2X vel 3xve
erit +dad.t b vel 3b vel 2y etc  b ad X vel ut bx et bx vel b
unde componendo fier +d + y ad y ut
2bX velibX velbX ex
X vel X3 vel X et
X343U 36X + b3
XE 4beX +ax +
V ad y ut
est ut XZ ad X
X. + 2H ad X2 at ex gatra +D ∞ ty ady)
Gad s ut X2 ad XYevit g, d+ ad y ut X tixbad) X ( 4 Px3b
at supra ex naturahrens +d +y ad y ut
uende e + b
ut X ad
o natura
plo
carbi supa ut x
ad X. Ergo X+ 2bX.
X+3X, equa
X313Xb+3Xb +b3 2
x7 4Xb+ 6Xb  +62
aequale  nihilo quod est absurdum. Cum ergo in Adeoque lemma est demonstratum, cum
vel x b xb b2s
ergo non possint ita ut in Lemmate enuntiatum est, esse inter se b ad B+d seu differentia
ordinatarum ad bscissarum. sequitur si eo modo esse da ponatur TB ad BC, junctam TC
fangere currum non nisi uno in puncto uvae lccurrere, adeq bive
D et B (C) nullas esse adeoque ipsam  esse
iici anser minet en to c. 10) ) a tadere at actuse itunsa a i.  seuano ee habetent ationem cripis e) oe ergo nepeest iesim 
ax dis ndutatr