# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068035:0016
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068035:0016?run=73
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 5, 17
# Folio 8v, page id 00068035:0016
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068035&page=16
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068035/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 100 lines, status machine
# Lines: 100 recognised, mean confidence 0.86
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Theorema:
si sit curva sarabo loeides cujus ordinatae suit in multiplicata ratione abscissarum secundum
aliquem numerum exponentem erit portio directricis inter tangentem et ordinatam ad
idem curvae punctum concurrentes intercepta ad abscissam, seu portionem directricis, t inter
punctum fixum et ordinatam interceptam, ut unitas ad numerum exponentem
sit curva saraboloeides, ut
Conica seu Eradrati Jarabola communis
Parabo la cubica
Parmbola quadrato- quadratica etc
directrin al quam ordinata ex omnibus curvae punctis referuntur A() secundum abscissas direstriai portiones AB. AB) ex
puncto fixo A incipientes; sitque semper ordinata, BC ad ordinatam (B) (C) in ratione multpleata secuum
numerum exponentem quemcunque, nempe in ratione
duplicata, setu sia
vairata
numerum un
tris licata sendum
quadrus licata
secnctum numerum exponentem
est ut abscissarum quadra
to-quadrata
ajo semper fore TB portionem directricis interceptam ad AB abscissem, ud unitas ad exponentem, 
sum vintiam piti no
Demonstatit, quoniam TC non est ordinatis B() BC neque directrici AB parallela, ideo vel cuvam C langet, vel vd
in al duobus punctis ei occurret, tempe in alio adhuc puncto quam C. (per prop.....) Quod si ergo ostenterimus non posse in alio
ad huc puncto occurrere, utique eam tangere consequetur. Ponantur duo esse puncta C. (Cts quibus curgae occurrat recta
Unde ordinatae C B. (C) (B) compendii carsa quarum abscissae AB. A(B) ej Minor ordinatarum  alterer
sbscissae AB ordinata sit y.
a AB ssit t sit differentia B (B)  aequalis b. erit A(B) (a, b) C + b.
l Porro abscessae minoris etiam miner erit ordinata, n in Paraboloeidibus, nam majorum radeum cum ordinatae
irstia major sit potentia, erunt majorum
suit ut potentiae, quadrate scilicet aut cubi, ete etm et majeris sattia
abscissarum majores ordinataeitau
Bempdinata atsa
posita D(C) differentia ordinatarum 3 aequali d. Ergo sex datula curvae erit X
X+ 24b + b2
XY3X b+3XI + (2
(B) (C) n tunta aequalis y + d.
De ad y + d, ut ad V ut
X +4 Xb + Ox L: + + Xb + 64
eut  ad a
Porro ob Triangula similia FBC, CD(C), erit (1) D v et d ad DC vel b ut BC   d C B  gd
suppositam in constructione ipsius TB rationem ad AB qa
jam d est ad d, us vel ut  4sed b maltiplic per num e.
muitiplicutali per numerum eade sunt eb pad rp
ergo compenende, erit 9+d ad
eeu 25 13. ctqu
jum 8 L a. 3 X
diris. per num. e. ad
 3, et X ad X et
X und benuntistic per non
 ad ebx vel 
b ut y ad X divipere
et rectum ipsax
ob ad X3. seu ut
seu ut eb x adx ba X seu ut eb x ad X3 seu ut cb X3 ad X, ex vel explicando e, sandum vurios cajus
erit d ady adx
in exemplum sit Sarabola cubica C(C)
n qua A BC ad () (C) ut cubi at AB, AB)
quimmdonene aualogia rationtea d ad y  p.+ eb ad X. (oet hui aequspollentum ZbX ad X erc.) compamatur
analogi ita eret etiam ju es y ad y e ut X ad X vel ut X ad X3. vel ut X ad X+ etc. ergo hanc in
componendo cum priore  ad y ut 2bX ad X, vel 3b~ ad X3 vel 4 b x ad X, erc. fiet y+ d ady.
quae rationes aD. si conferantur cum rationibus O ob aequel anteredent con termi coinc aequales t ubi
etiam d + d ad y, ut ... ad X vel X, vel X erunt ipsi .... antecedentes ter rationum C aquale
autecedentibus rationam D.
a Y X + 2Xb+ b
aequal X + 2+
adeoque fiet:
aq Etgo b  qual 0
X + 3X b + 3XbY 63
aequal N + 3Xb
Ergo 3 Xb + b3 _ quad
X+ qxb - GX b+ 4 Xb = b+
aequal X + 4 X3b
Ergo 6X b + 4 X B + b aequalo.
quod est absurdum. impossibile enim ut potentiae quantitatum simul additae faciant nihil. cum nulla hic subtractio
intercedat. Impossibile ergo, est rectam TC. curvam secire in qualem supposuimus, rectam curvam
pare in duobus pucdis. Quare, ut dixims, eum nentri directricium, siae nec directrici nec ordinatis
Fanget per theor. ut supra jum diximus. Quod
consequentiam initio haius demonstrationis positam tanget. 2.E8.
pootam
quod si posnissemus AC esse miporem hissa
ideo ibii stu potis fademus, quam tectori nequidlectorem
A(C) mejorem, adeoque B c esse mijorem ordniatam, et (B) (1)
minorem id est si supponamus rectam TC, ipsa quae sit ad AB, ut 1 ad e. curvam secare in alio puncto (C) non poss,
ut poius, sed ante quam secet in C. id totidem vers. iisdem cerbotenus repetitis impossibile esse demonstrabitur.
quoniam tamen nonnulla immutanda sunt, ut absolvatur demonstratio absolvatur. Nimirum a arbis in fius 2. ponatur punctum
novum (C) esse anteriu puncto C. minor ordinatarum erit AB)  ea sit X. etc. retentis iisdem verbis
pmutando tantum AB in AB) et contra, et (B BC in (B) () et contra: usque ad verba. Porro ob erangula similia
BC, (C) DC erit C et C D in (C) d et contra.
XF 2xb + b2 2tx + X + cbX + b + 264 + 26 ux 2bX + H
Ergo 2bx + 2b
X2+ 2bX +b. E. g0
 u t ab bi Eb i
X3+ 3 N b +3Fb + 63
2bx + b Ex 2bX+B
xA Y 
EExeC. H 2b x+ I. Ergo bX Lp 1. et L b. quod
= bX + b Ergo  1F 2X + b et X+ bp0.
 in iot et s tibe. b. e
   rui an