# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068040:0004
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068040:0004?run=73
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 5, 22
# Folio 2v, page id 00068040:0004
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068040&page=4
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068040/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 194 lines, status machine
# Lines: 194 recognised, mean confidence 0.83
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Cet (C)
Explil o quaniam autem
Aeque hoc fuit ratio calculi  ordinaria pla quia
itamen compendium habetur, quod in prolixioribus summae est vitilitatis placet hoc quoque ascribere. Aequatio
e
eandem pro una parabola, sed pro alia atque alia parabola, adeoque et pro curva linea tangente communi svariari
H cum ergo  et duabus curvis indiffere idim lefilit C AG et ( (G) se secantibus in C, dit  eom
sit y seu FC utrique communis, at A h s latus rectum sit vacium  vecasce ta crrva et X seu AF sit etiam variam
nemne AF vel (A) F. H in aequatione 9 aeq. X. differentia autem duacum E, et duarum X sit in definite parva
hinc aequatio yy aeq. Ex appli at revocanda est ad differentialem ponenda y tanquam constante, h et X tanqua
_ varianlibus. Ergo aequatio ejus differentialis erit 0 aequ hdx + XdE, si seu Xay. Fdx
autem dxaqua et c aequ dx et Baequ. dE. cincidit ergo haec aequatii cum superiuis reperta Xoq. Cro. 
superest tantum ut videamus an  adhibita tantum una parabota semel, considerandoque cuvuam
seuerptam e tanquam quae quamlibet harum tambolarum tangat ex eo etiam haberi, possit natura curg
generatae. Consileretur ergo parabola (5quam tangit curva C C seu in plb duobus punctis in definite parvo interallo
distantibus secat.
F vel (5) est X ordinata paritulae detre nempe F.
Ordinata autem curvae CC, dicatur D. Cumque hoc loco se seient coincident v et y seu ent
HF  vel H6)  est n
Est autem ex natura paratole yy aequ hX ex natura vero situs parabilae et
currae quaesitae inter se, quia  H() + (AFCvet X(Et + (AS 3aqu H FC et HS) ) et n) est Z fiee
vet(F) (C) dicatur y
fiet ver 2+ xaq a ubi patet Z quidem seu H(A) esse monnbilem vocando HI) Z. fiet Z+X aequ n
v aequ. y aequ FC vel (F) (C
et et pro x et y substitatis valoribus fiet Z+ vr: s aequ. a.  quae aequatio revgcandaa vaas
radices aequales est ultima quae eyhis haberi potest revocunda ergo ad duas radices aequales, cumque sola et n voliet
et V est CF vel (C) (F) aCA (A) od pro ambobus eadem, itemque e parameter parabolaeq
eadem parabola manet, ninc exaeqratione ista faciendo ejus differentialem, fiee Evdv.h aequ dn. seu du: dv:: 2v. H idq
est enim n H HF vel H(F)
eo ipso quia duae curvae se tangunt ) et ob 6. 3yaeq
dn :d0 aeq. 20: h. Verm  verum nihil ultro haber
statim ex eo potuissemus habere, quod du: du aeq. dx: dy.
 quemadmodu
supra fecinus, sumendo intervalla verticum laterum rectorum differentiis aequalia, fiet: h + vv: E ag. g. e+ et
potest jam assumi potest pro arbitro relatio inter Z et h eto si faciamus 3 aequ
est dx. dy aeq. 2y: h,  jam y aq. v hoc cesu Ergo
ter Vet aequ  nat v at publo ante es aequ du: 2d0 ergo fier: nah dr aeque duv sed
aqu. est autem haq. 2du 2V ar: dn. quod substituendo fiet: 2Vdv: dn + vxdn: 2Y dv aequa. ergo fiet
du: qV av + Yd n aequ. 2a dvdn. seu 4vvav- invan do + inn  dn req. Vvan + L na an
npinum seu 2Vd0 - nd aqu.  id S+vV. na seu dv: dn aequ.   an + savo. na: 4V
ex hac aequatu
rectaqvae est deuique aequatio differentialis ducibilis ex  hoc calculo dum supponimus curvam quaeri quae
quamlibet ex parabolis secundum legem praescriplam collocatis tangat; nec tamen in calculo nisi unaum
parabolam adhibemus. Et eam aequationem differentialem veram esse patet, nam quia in eo casu quo ec Z aeq. t
fiet: c du aequedo et 400- un  g.0 et restabit.
d da et restabit du: Gr aeq. n: av. at du :d0 etiam ag. 1: 2 ergo fiet 1: 2 aeq n: 4V. seu n aeq. 2V. 9
Ex hispatet differentia duarum Methodorum, prior, dum parabolarum cintiouas intersecti
 u ut eatumatis Raego 2y sive EP ut supra explicuimus
quaerimque nos duxit s ad aequationem quandam absolutam, quia generationem curvae involvit eamque determinat
hosterior vero nos ducit tantum ad aequationem differentialem. potest tamen et ipsa utiliter adhiberi quia interdu
or, praesertim in trauscendentibus tractatu difficilior, quando scilicet variantes ingred  h in gredituur in expo
nentem, priori enim metbodo h consideratur ut varians, pe seu gemina posteriore ut simplex un
posueramus.
posteriore in
alio ration
ejusdem
Hinc aliquando obtata curva tantum differentialiter ve
ut indefirniri curvo infinitae eam tangentes natures
 do ex n et d. cogitum n
in eseet expit et eu. du aq uode, en x e
renocan pos
exponentea posita nil rurbat.
otest fae
shrisset adhibita fuisse quae cunque
eo
fochi modo determinata
seximnte
quantitas co nec semper
tadi ifficiliora et considi
Exemplo facili progredianm
otimmum expimens inter necyipm
senerantes onnes sunt ejusdem gratus ut hoc loco parabolae quadraticae, ac proinde aequatio omnibus
etn
loco equationis
communis (gy aqu. X) est ordinaria facilem esse eorum quae hactenus exposuimus praxin, nam curva generata
alatia
ex in
nethodo, ex et
tam in plncto qinssemper est ordinaria seu Algebraica, at si curvae traenseant de gradu in gradtum, adeoque exponentes varient, tunc aequatio
exprimetur 
Exposita
communis erit banscendens habebit enim indefinitam in exponente, et curva omnes tangens erit
tiam transcendens. Si paraboliformes insi quaecunque habeant verticem, parametium et axem eandem, sintque ad easdem partu
istan remus quando int
ita parbota
ordinata earum communis ad punctum intersectionis ert pamineter et abpisa erit aequalis edem
VLG et VMG se secant in 5, eriqu 85 aq. YBo si quidem squalis parameter neriusque it  is
eut aequ. F VB aeqo BG. discerponens ordinatae mapa quam abscissae, seu si vulore abscissae per vidinatam oreima
ptur so.a omn
n efficitur exponente qui sic major unitate, paraboliformis axi VB obvertit concavitatem. Si d suit parabo li forme
e
cn versus axem, adeoque
exponentem valoris abscissae habentes unitate majorem eri ordinata parboliso rmis altro  seu uli major exponea
ave
plures verticem axem parametrum communem habentes ad easdem partes lavae, et qu
latior supra ordinatam parametio aequalem angustior infra ut siduae paraboliformes sint altioris exponentis
et NP minor N Q.
 depessioris V LGZ erit R maeisi
Hinc si mane depossi
manente immota mo
veatur ultior deorsum, ne axe ejus in axe depressionis incidente, ita ut V descendente versus A, puncta omnia ipsus vG
Cordinatam in valore abscissae afficientis) VMGY
teta portio supra parametrum ut intra altiorem continetur
patet quodcunque punctum ipsius ut Z, tandem altiori inmotae occurre
ut in W (si LW paralleta axi) verte ipsius autem depossioris vertex tunc ex V pervenerit in T seu tota linea VZ in TB
hinc patet ubicunque vertex depressioris collocetur intra altiorem, necesse esse ut alicubi altiorem secet tangt veru junqui
vinc deposs
ei movemur parallela eodem inter se servato situ
nonu si duae depressiores simnl descendent Deaat ab V5Z, et VS
descendant immota altiore VSP pater minis de
e communi
una mota fuerit VL ma
sae deinde progrediendo et de
ponamus jam postquam VsZ pervenit in a coB jam aubus acoß imam, et
pressamt Z erius occurvere  altissimae, si media et im
Aueu
accurret s
speciali dubaui et V sco madiam simul procedere ipsa media psa hanslata in YH3 et ima _ o translata in BA
patet
et nsui
Cponendo T aego ab aeqo cost), iater intersectionem summae et mediae Us esse necissaio supra inter sectionem
cente su
ubi mediae occurit
patet toto V Seoa progrediente semper portione lineam aco infermum esse inferiore qua
eam V5∞ erm illa secit ha lineam immotam VpH infra, nempe VScoa veniente in Y AB nempescilicet
15Co in FA, ut co in DA deq DA secabit V PIM infu in in B, et Ya se cabit eam in WV, eritque n infra A
est infra et seu linem D d prius secat lineam  VW pr in M quam lineam F WwA in A, quia WA est extra W 
nam inter detus sim mediae et imae 3
A est in fra W. ac proinde A intersectia communis WV intersectio communis summae et mediae est supra A interse
ionem munem sum
demo
et
euo se
i
exterior
mei
mae intersectiones ergo servant ordinem linearum, 
ab
qusscranto u vilat constantam
i
AG~, (A)C
Ac proinde
etc. esse unens parabolisore
dum et intersectiones altiorum erne superores eritque
et concipere
pr
itavillorum vertium
et y. seu aequalio ad curvam cC quaesita.
par 1eleen d at nove qpuo epeiato, es cuosta votee. ses iitil iseadetate contura
eo est relatio nter
ertum oe 
tist de vy alx a fiet Clogy. ∞q. 1. se t vg. v in casu gur
 mu u a
exponentium si faciamus eague
cujus li quativn
cegnitata erquodane oacgan
liquam differeatiatam
sinfin
sum invemre et
ic 
non possung
dntium a
 da tuo  hue rarrum
(Fus tollam
oque
punctatutis
bi C ag.
prato
sut
Teration u . B
FErgo illa aequatio
ferentialis est
vallom
athod
s concndietum quae
e
oncere
tio errecta
secabit
pinem per
enter
unilsit
talis, ut jagendo
as aequationes
canscendentem
curm
tione ingrans
at
escat transcen.
cas iatelicur tandem his
 sensaque 
e
ivem
commmi to