# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068049:0163
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068049:0163?run=73
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 4
# Folio 82r, page id 00068049:0163
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068049&page=163
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068049/jpgs/default/00000163.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 112 lines, status machine
# Lines: 112 recognised, mean confidence 0.86
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

haec sol.
18 jun. 1691
dip antea pro quadraturis odqu ope reductionis
in die santers, omaum quadhatua sine respecta ad quadratuam
Reductione usus sum in Quadraturis ad alias formulas simpliciores
sed siabst rahendo a Quadraturis, reductionem possem obtinere in terminis
diogantert eadem opera omnes quadraturae, in quibus similis occurcit
extractio essent absoluta. videamus in aliquibus sit gy LIBXK+HX + 12
Gy = b xx + Cx + e. haec aequatio explicatione reduci potest ad rat inveniri potest
per formulas rationales, seu exhiberi pt y et X per valorem simpliceur. Faciamas
Jam D = fXKT Ox+ h, : XX + Ix Am, et ope harum aequationum Tollamus X, habetur aequatio nova
inter y et v, quae utique etiam exhiberi pt intermnis rationalibus. Sed rem tentemus
simpliciore vatione nam formula b XX + ex + e potest aequari quadrato, si 11X+ 12,, 20X + 21
quadrato aequari possit. sit ergo yy = sit ergo yy = 12X + 13,: 207 +21 et fiat
ve 9 v ~ 31 X + 32X + 33,: 40X2 + 41X + 42. ope aequationum 1 et 2 tollatur X
et quia ex aeg. 1. est yy 20x + yy21 = 12X + 13 seu X  3 21 y9 - 13,:, 12 - yy
quem valorem substitucu in aeq. 2. fe est autem ex q. 4 est XX = 2E y - 2. 21. 139y + 13.,
v
+31. 2174 - 2.31, 21. 1399 + 31. 13
132. 134 Ly - 32. 1. 1:
-32 21 yt 432. 12.
quaesi
Lys
40. 21y 4-. 40. 21. 13yy + 40. 13
41.
Z, - 41. 12. 13
s
+ 42y -2, A2 12 yy + 42 12
Si igitur data esset aequatio ipsi aequationi 6 similis ea posset it revocari
+633 y = 2.33. 12 yy + 33. 122
ad rationalem, ut haberi posset rationalis valor ipsius y per v. ensam pro v
substitu Nam in Aequatio scilicet 6 ordinata pedibit ad hanc formam
52VV + 54y y + 56v 20, Quod si tatis aequatu esset
gata, possent inveniri literae et passent inveniri literae 5y, 54, C 31, 32, 33, 71, 42
53 yt + 855 y2 + 5)
2
poterunt
per sexaq quiaque aequationes comparitielna
cum
inisition
offitut
explicari rationaliter, seu possecit rabionaliter invenirus. Vao
dinatu et in
1
lex
fo his un hiouema quivalendt as assuti octo  vao
ata
aequationis y per v. Nam pro imo Nam pro a substituatur X in aeq. 6. et
(ne mpe 12, 13, 2
equatizata
haben ergo pt y rationaliter, per eandenti per quam rationaliter
habetur X je ut notum est ex resolubilitate aequationis
pradit aeq. 1.
Sed Y etiam potest
haber sed v etam habetur rationabiter per X. per X, ex aeg. 2.
erm etiam rationaliter habetur per q
Ergo y et n rationaliter habetur
per eandem g. quod seu aequatio 6 adeoque et 7. data potest exhiberi
per per valores  ipsarum V et y rationales.
Hoc Hec procissus
satis est subbilis, et qui primue fonte in mentem non facile venisset
deuin re attent considerata, nec videtur in hoc praesenti casciadodm
prodesse evera enim itaque, si 12X + 13 et 20X +21 simul sint aequanda
quadrato, quo est duplicis aequalitatis problema fiat 12 X + 13 C et 20X+. 
12
fiet X. 61. 13: 12 per g. =  20. 71 = 21: 20  ideoque c0co =  1 + 1 2071 ,. B. 10
12. 21
er g
fial jam Cd = sec. Z B. e  s 51 71 + Q et fiet 
L 13
(L∞ 20. 61. 31, +) 2. .  s. sto 1. 71 (22 20. E 12. 2 71, : 12. 60. 61 871 ter
et denique fiel
L
S12: 1. 20. 61.713,) + 13. 20. 71 = 12. 21. 171, : . 20. 61. 71.
qi
 (5) - (20. 61. ∞I 20. 61. 71. 8Z + 13. 20. 71. 120.61. 71 = 12 21. 71. (2061. 717: 2. =. 2. 6. 71 112
cum ergo = habeatur per Z ex aq. 15, et X per Y aeg. 11, et  V per X gq. 2 et
y per x quia eq. et y = o  Co 161.71:  (ex aeq. , 1, 8, 9) et cd per Z a Ya
rationalitem
habetur et y ex Z; adeoque tam B, quam habentur per Z, quorum valores sulestitue
in arg. 6 vel 7 erit aeq. 7. explicabilis per rationalem. Idem multo adhuc
magis appareret, si secitsamus e in 6g. 1. fecissemus yy  11XFB y = 12X+ B13, quae
20X+21.
eliam expliaeri pb in rationalibus
20X + 21
ita enim in valore ipsius X aq. 4 occurreret
placet antem
et in aeg. 6 haberetur etiam B, et y
ista mehovus vel ideo quod iideo nullas esse superfluas  assumtitias,
non solum, yu sed et x.
ob literas 5 et quiaque quia sunt assumtitia quinque et otidem parationes necessariae
sed nunc ama ut magis usus propositi calculi appareat,
compendii gratia: G83O + e5  97,
pro eG. 7 scribamus
puneudo scl. e= yy fiet etilitiduis 1, 65. 83 C  4 35. 8514
BZF 83 et + 85C +87 20
2 185 - 4. 83. 87 = 85, : 2.83
bid est explicando netar Numcios per sparationem, equationum 17 et Z. e
15a VV +59. 55V+55
ex g. 19 fet gy et exharendo fiet se = y =  d- 4 56v0 -gsr st B 4.5357
54V-55,3:, 252V+253
54V -55 = h et ita Ellendo V ex aequ. 20. fier et formattalis in aeg. 22 facta ex 20
Vi82 Sgotin +gch +92  tucotioinsuam comparando cum data, simili patet tam
ubi o
grarationibus quinque et
 aequi valen
noterea
opus e
56, 57 qui in e
aequationes f et 7
E
intulan 21