# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068052:0039
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068052:0039?run=73
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 7
# Folio 20r, page id 00068052:0039
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 19v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068052&page=39
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068052/jpgs/default/00000039.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 107 lines, status machine
# Lines: 107 recognised, mean confidence 0.86
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

nalis in producta OA, sumatur OBsquae vocetur Z.) compleatur
rectangulum BO NC, ubi AB vocetur X, B e et C et
punctum curvae catenariae quoesitae,  lujus vertex
eodemque modo invenietur puncta alia quotcunque ut F. Centro est
porro centro O radio B B descriptus circuli arcus secet A R va
MA in R. erit AR aequalis arcui AC, seu dimidio filo ex F
clavis C et (C) suspeno in eadem horizontali positis, suspenso.
jungatur OR (aequalis OB) et in recta B A prBO (si opus produota e tqe
sumatur BT quae sit ad BC, ut RA ad AO, et juncta TC tanget  Zdn=
cur catenum in C curvam catenae in C. Habemus ergo C
de constructionem, dimensionem, tangentes lineae catenariu
Sed habetur et area, nam zona AO quadrilineum AONC
aequatur rectangulo BAR seu comprchenso sub OA et arcu A
qui in rectam extensus dat AR. Unde hoc sequitur memorabile
arcus AC, esse  areis _ ad apse consistentibus AONCA, proportiona
seu esse AC ad AF ut AONCA ad AOLFA praeterea cum C7
secet AM in E erit AE distantia centri gravitatis arcus AC, ab axe AB
itaque circumferentia circuli centro radio AE descripti, ducta cis
_ AC seu in AR, aequatur superficiei genitae rotatione arcus AC
sed  AA
ciica Axem AB. Eadem ut porro cir Et proinde circulus cujus
radius sit proportione medius inter AE, et catenam ACAC) seu
duplaae rectam AR, aequabitur huic superficiei. quaeramus et distan
tiam centr gravitatis catenae AC a tangente verticis AM, vel absisypaptoto vel siae 
seu (Saa+n an per 72. quae
si planet ab ON. seu Cydn
pendet ex contura Hypu vel quia dn = q aZ: (22 aa, fiet, zan-
= 221Z. Siz aa ubi ob gY 31 et 92 et 36 est 23dZ: (zr- aa =
= - a dco: co, a + 2aacocd + c0t: 4c0 seu = adco, a: co + 24: co tco
in CB producta sumatur B.9 = AR et produrtur QR dum ipsi
descritatum
puncta ut tasus matuto
Hyperbola, spalium quadrilineum AOM LA aequ
C) N occurat i b
cnius radius Y
rre = 2V. AE
YL AAE. LHK
sit nd. b fid 1+ Z
applicatum ad vilum BG, etb seu Ac dabit rectam AO)
aequalem destantiageentu gravitat ipsi distantiam puncti. V
Eritque Y. minimum situs possibilis
quem centriam gravitatis fili sem eatenu ex punctis hocctoutalibus CitIC
centri Gravitatis arcus CA(C) ab ON
suspensi accipere potest Unde et habetur G centrum gravitatis dimidii
arcus AG. Sporro si applices AC MZA = trianus Omg,  una cum
sectore AO QA, id est nun cum quadrilimeo 278Ag. posito Z7, AB esse
ordinatas ad syuptolori. Trousferatur:  et 07 in er
Da partom ipsius. OH et similiter C8 in O9 at rentio C) vertice Wd, asue upti
OH, O descibatia Hyp. sequilatera, (supra jan descripta, in quam
ordinatae normiles N4, H_ 96 et area 40969 et eint
applicata ad AO dat logarithmum Oa ad 69 seu  C, ad OB. sed
area 4964 est ad aream 278AQ ut ordinata respondens ad respon-
dentem, quae ordinatae sunt inter se. iisdem existentibus abscissis, utpote
ut quadratum CA ad quadr. A8, id est ut 2 ad 1 Ergo 978 Ag est dimid.
log. rationis O7 ad 38.: producatur Bq dum ipsi O occurrat in
etit B8 = BC et 2D = A OB - B9. et 75 = OB - Bg: si
jam O = siDB. Ergo C7 = (OB OB + BQ, L O9- 7G-
2OB - OB + BQ,: 12 = OB+ B2,: f2 = 67 et O8. O8 = AO: Y
fiet 278AZ applicut ad AC = log. rat. OB+ BQ, ad AC. Lag
corp = aa: c0 Cdt  saaco: c0  y
et OB =Z = a4: 2C0 + c0. 2 = et 2 Z= ACo + co  per gi. sit
ACd = co  AC =a
si sit AO = a = 1, fiet et AE = b, fiet NZ vel C co vel co = b
ergo Z=  1+ V b2: 2b
quae est aequatio  analytica
exprimens naturam lines catenariae seu quia Z- 1 = X,
Arcus autem AC, seu n
posito AB, Z, et BC y.
quec qui est 1Z3- aa est 1 - b.: 2b = n Duta Ergo Vet
itaque si AB, x
oi o ioiein fus ne etit a liclai eoe vit
s qotacis d coriteue fri  esqin se c iutr b. et e0 eit 1it bb. 10
cosarco
aa  ado
is aneseda
Ergo 4 Bd
s cror
=  +s e dus
Ar: 2
ratio circumfere
vocetur _T.
ergo circumf ipsius AE est ad
2Y AE. 1
sit 2A. AE, AR, e
aequalis inveniri debet circulus
qui est talis autem
circum ferentia = 2YN, ejus
area YH: 2 = rrI. fie
 seu 
Tan =.ya+
rectans dimd ex  +
E pu-yath
quando z = a (2 tun
angulus tangentis ad ordina
tam est semo rectus,
casu arcus aequ
dimo
1 ad 12
semti
et eodem
Eulis esisentectis
+ applicat, ad AC,
H910 in ON sumta
aequalis ipsi A
et inde ordinata ad
logar(Chacieam 1012
BC= AO