# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068069:0008
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068069:0008?run=73
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 24
# Folio 4v, page id 00068069:0008
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068069&page=8
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068069/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 118 lines, status machine
# Lines: 118 recognised, mean confidence 0.87
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Ex his ergae patet omnem fuctionem rationalem reduci
posse ad fractiones simplices rationales constantis numeratoris; ratio.
nales inquam, quoad indeterminatam X, quae extra vinculum esse debet
Itaque si daretur fractio aliqua resolvenda, velat 2XX +X M2 + 15,:
XX +2X + V3, vel aliqua fractio simplex inter resolvendum occurrem
ut fractio 12:, x + B3; in hoc analyseos genere habetur pro ine
Symmationem
summationum non moratur, qirrationalitas, quae indeterminatas. In quo com
modior hoc loco est reductio irrationalium ad rationales, quam in
B
2.)
4(9 3() (26A
e  35 48
jan
rationali irrationalis, quia tatis irrationalitas analysin
et termula fractionis non
 
+
64
5
Liguratorum diophanteo. Hinc sequitur, etsi
irrationales sint radices, modo sint reales, non vero imaginariae,
in seriebus quidem Numericis rationalibus summandis, quae
sunt determinati gradus, seu ubi Indeterminata non ingreditur
exponentem, rem semper posse reduci se semper posse reduci
ad summam numerorum progressionis harmonicae aut poten-
fiarum ad ipsis Et in vidinatis rationatibus, seu in quadraturis
figurarum Algebraicarum rationalium, em semper cum
seu la Quadraturis
po
Cqu
omni
radices sunt regles, reduci ad quadraturam Hyperbolae. Hinc ee
modi in seriebris numericis summandis res redit ad summandas
prius explicen
vel omnes etc. posito y = xte, vel
XF x+Z, vel X+ s3, aliterve, ut placet. Nam quia series ipsarum
omnes vel omnes jy
in Numeris est qualis
+C
 pate eamecese
442 6t2
etc. posito X esse
x esse Nam si  X sit 1 vel 2 vel 3 ete, et e constans sit 2. erit
pes Z Y 2t2
312
 = = etc. sin X sit 1 vel 3 vel 5
4+2
vel 7 etc. et constans a C sit s3, tunc series omnium erit
Numerorum
series anium e
habet nisi radices reales
nel
itB t 13
i C Et2 3t2
etc. L;
SFVS B IB3 3+ 3
t naturalis
erunt progressionis harmonicae
Itaque sds erit  in Numenis summa progressionis harmodice
sionis Harmonicae; ad has ergores redit  isi Series Numericae
et sdu
rationales determinati gradus finita, vel cum id fieri potest finitae, sum-
yy B)
mandae intelligantur. Et licet series harmonica infinita numero terminorum
est in seriebus potentiarum ab harmonicis) differentia tamen d
etiam magnitudine sit infinita, ut
terduas
seriecum harmonicae progressionis fint infinitanume infinitarum
finitam magnitudinem constituere potest.
Et interd ccum absoluta habetur summatio, independens ab harmo
ipes
finitaes
nicis terminis horumae potentiis summandis, hac analus
se
sut
inab
minos ese sponte ostendit summa.
nostra destruuntur harmonicae,
(dx posito X esse 2 vel 3 vel 4ex
est. seriet quae fota in intinitum summani potest: et dx quidem hoc loco b
24
Ex. gr.  + = = 15
XX-
35 ta
 per regulam nostram
(ob valorem ipsius im
quia l = X+ I, et m = X -1 adeoque b est 1, et c est- 1) dabit
est . et XX-1
exit = =2, XFI
+
2, X - 1
deties  est 
Et ferios est.
Ergot - 1 -
Ergofd p
1seri
i  seu 2) X-1 X+I
 += +  + et
  et  etc
iete
+13
S+ (3
pay.3
Faut his destrucois ad
au de
quantitatem constantem
seu summam absolutam,
sactem
ad seriem inteqrorum
quae in rationalibus
certigradus semper summari
potest sultem pro parte
seriei finita. In seriebus
vero linearum ordinatarum
rationalibus summandis, seu
jam
etc