# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com # Page: https://leibnizlegible.com/page/00068124:0210 # Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068124:0210?run=73 # Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 8, 30 # Folio 105v, page id 00068124:0210 # Scan: The same scan as fol. 104r (00068124:0207), where its text is given. # Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068124&page=210 # Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068124/jpgs/default/00000210.jpg # Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 194 lines, status machine # Lines: 194 recognised, mean confidence 0.89 # Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German. # Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text. # Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote". # After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line. Tangens constans loganthmicae, quae ibi radui officum facil quaerenda ex posito sola progressione eometrica, seu aequatracetrauscendenti, uta conciliabitur aequiu franscendens et differentialis sit curva aequad transcendans, ut + s D2 +a. ita ut ndelemut sint eo et Z. addatur nobique y et dervellaturae quat duas: Aoya et +y =b potent tam co quam invenisti loganithmice ex y et b, vel y et a. in quil aequationibus halbi potest y 4 ertes tollendo 7 per aeg. 2. vel per Aeq. 3 habebis rlatio nova inter cd et Z. in qua altoratra solum erit in exponent r. g. Co log N log a-y. et Z8 log q= by log b=y. in aeq. 4 pro y ponendo b - g2. fiet: con loq a b4 e log. a x b + 5: L0g. N. sed non opyeral assumere ingressa fuissetco tam in exponente quam extraem fortes necessia ppasset novae litero assatio Anquadratire quadrabitis er Barrov. lect. Geom. X. fiu. I1c videbatur mihi oluu Einc aliquod posse duci Cura Berthetiana 1BEL aremi AB. Non est spiralis Archimedea ut ipse putabal postremo exthetiqus. rangentem ejus sic inveni Ex puncto survae E ducatur ad centrum ED, secans circumferentiam in B, Eunde edu– Eatur tangens circuli BT, si fiat ut Ed ad Bd itaB TB ad EB, juncta TE, erit tangens quaesita comunicavi osannae. Hius cum langens aplti aequatur arcui et ravio simul, ibi est maxima curvae Ut Curnae rationales reducantur ad irmasionales, sit vig. X catindo seu elongalio a + bX g xZ e =0. a + bx Cy +DX9 + fx ut GY hX etC= sinetr aequlio secundum x et fiat dio sibilis quantum exx aliqua sereda 1b8. indicare possum, cum pro curva Conica habeatur (Z. quaatc gy: 199+ayy ut reducatur haec ad ratio– tem opgest +Gy +da yy + aaque aequari quadrato posito da - f a + C9q noni pendii causa assi si fiat y- ev + S: ou +t, et substitnatur ni locum ipsius y ste valor Diribur formuta quae oparari poterit quadrato suffieret numerulorem comparari quadrato ex lv + me+n tY1+t at = 1 = (34 1 F quaposito Z= si +F fit F- d72. Quomon haberu axeu aequiliberii transenntem per centriq portiolus raa lans, hic es si duae posssent reperori portiones circulareslicet ex diversis circulis centrum grar. coe habentes ita tamen ut duorum circulorio entra et centrum gravitatis 10c portionum non cadet in egndem rectam tunc intersectione duorum aximus aequitabrii per circulorum ceutra transeuntia reperiri posset hoc centrum gravi ve, adeique hujus portionis circularis area pranentur semi segmenti exbasi es sexta pars rubi a sinu) probl mata huius modi forcum ppossunt SF v.g sicquadrans ABC quaitur simiseque mentem AdE habens ad quadimatem rate datam ad eiqus posset smmari hujusmodi calculi reducitur ad solas quantitates angulares evarescente cuarorline argnitudine alias semper ingreditur dnta linea transcendente, dato linea Algecraica positione data quae ex tungit, punctum conractus inveniri poterit. Si sint duae curvo transcende quas constat se langere, et reperianur quam eae licet utraeque sunt trans derites, modo osi letur Algebraica cotum ponstees totam cadere intraunam et extra alteram, tanget ambas in puncto glactus cor ana curva sic puto ad imuilnoe tistinima secantis ad arcum ratio est raom secantis ad Tangaortem coplemensi si linea aliqua curva puncto volvatur superalia linea, et aliquo puor linea uolut provoluta puncto aliquo fixo in ipsa sumto describat Trochovidem, ea lhnea Trochocides tanget lineam s super qua provolutio fai est, videndum an hinc punctum gnlactu ossit inveniri. Mero non semper in puncto glactus fore infinitas tangentes verea nesemper incidamui aquo tiones identicas simo duae aquationes duarm incognitarum una ad lineam algebra cam altera ad transcendentem, et hac revocata ad seriem,s videatur an possit reducendo ad aequationem nefinitam unius incignitae possit effici, ut ea habeat duas radices aequales, quo pacto explicando parame As linearum pront oporcet, ut hoc praestetur, habebitur int effectum ut duaes curve se tangant, ergo hac arte punctum oecursus poterit haber laequar resoloena: et divellau in duas 41- ZE + Zq=0 addamus gco- 42= 90o et 22+ 90o = g. 22 quarum prio est hynithaulica posterior ex en nata intersectione solatur problem Aequalio 3 +Z = 11 si in numeris solvi recesscest solvi possit inratio natibus et quidem casu praesenti in integiis Ge metrice solvantur latia per intersectiones ut fint 32 = y et Z+y = n ilea aequalio est ad rectam, a lagarithiniam, hoc ad rectam quibus solortur blema Geometrice o in pumens oportet pro F poni 1+2 et habebitus serres infinisa ubi exp eonne , in exponente constet quantitatem aliquam no algetraicum esse tcuscendente nuo quam majorem, aliquando aequalemu cinea getraica habebitur granscendentem tangers si sit Xsinus opet et y = Sa- y + bx non pt esse y majus a, quia foret l ast impossibilis, et uno casue = arni a, cum scyl. y = bk. Ergo eo easu linea arcuum, hanc langit, verum ambae sunt transcendentes. Sed non habebiam egitus, opinor. Sit aequatio trausiendem unique incognitae, duas habens radices aequales seu facta ex ductu formue in quadrulum ea di digillatur in duas aequades ad duascurvas unam Transcendentem alteram algebraicam, r e Videndum an interpolades qualque Erullisianae demonstrari possint dubit abiles ex indubitabitibus oiterdendi aliter ind nec indubitabiles sit cadere posse.firet princi prum invetiendi in signe A isti curvae superiores haber possunt dum earmi ordinata compinuntur ex ordinatis inferioum uit de pro dimensconibus fium superficierum ita dxt prodimensionibus solidorum dimensio cuquae cyclvidos scendet ex quadratura secantum falsarum quarum dimidiae sunt serantes semiarcum quae suntquideabires quando figma alicum firansutum Characteristicum nonsatis aux ilum offert, id adjungendum alterius figiiae trrangulum characteristieuum viu circuli aidas clrdem. Cyran+sexxdus = t Xy in Trigonoorehogonir dentur duo ejusdemfigurae momenta ex duabus Cnt rectis intrse parallelis datur frgurae arec. idem est si extuibus licet non parallelis Momenta terminorum aequantur cplemento summae summarum (XC = Xsco-sseo summa sumar sut. Ex hicpmpiteu Numeros qui abscissas reprae sent soleo appellar ordinates quia ordinem termmoruste su dipatarum exhibents si quadgulo ordinatae, rectae figurae squadrabilis addas quadratum rectae constantis, ratix aggregati nro quadralorum repraesentabit, curvum quadratricis jam rectobris, es atralussin Cetragoisticam exhibui, quod scili ex differentiali comparata cum duta haberi et audata quadrabit e ibi mentionem facio me jam annao ante hot habusse (Anatus seos Tetragonistrcae scheda 3tra 29 octotr. 1675 radicet appello aliquando sub potestates in lineis anassidexiis seu quae inpartes conggnentes secantur ad aequadem pervenori pt sive tangentes sive quadraturam considere qua altimam primis non differunt, essi aliter exprimantur eript in si non s _b 76. Amstedodami notavi pertinentia ad calcula differentialem ibi ex scubo pro dx quodteet, ianmaribus Cariu ar AB X BC,y, Bd Z. ducatur nun simum in altergm solidum eit (3yax. secodum plana ba sectam. Siu sects secundum plana ipsi ABparallelo, et pagina perpendicularia exempli causa ita, ut situm se opulis et pagniae recta communissit EF, erit ibi sectio solidi quae ipsi Ex dorecte imponatur planum GHCB est autem id planum Edx Ergo solidum totum erit ssque drs etus seretu sum y ex invenitur per ex siX. dx, scil. su qe ponitur esse constans. serier summip nis ettim numeris summandis si curva y= a + a: 12 +a3:1. 2. 3 M. siet da: dZ = 1: 14Z. et SZ- DZ a esemitia a = 5 dZ: 14Z. pendet exlo repotuliae areae per ordinatas non convengntes nec paralletas, sed omnes tendentes ad unem curvam tanqua focum quisi linem Asciodentu est media proportionalis, inter diametrum et curvam evolatione descriptam meas iea producete ut sunt ad figurum ad quam terminatur persendiculios, sil egoenoe curvae ad quam sunt turgent Elementam curvae Hyurbolae Ee quilaterae dx arft. et posito a esse potentram x abscisse ex asumploto a centro habetum momentum ejus tam ex unnasymploto qu quia par ratio est exalia, scit ax a. X +sax X. Ergodatu et SdXVa:X quia danturambo momenta (hinc latu et recta trouscens per chutiu gravitatis curo Hyperbolicae, fus forte productio in infinin pedia sit a = X a 1X eo 1CS fiit c X cor hs sit fier X oico tantum ergo opus ut a co sit quadatus Quod facile ist sit a + co,: 2 = W m, et a - co - m et fit mn. Ergo ∞ = a ma 2e a et fet m- 2a + E+n et c=a tan. 2tr- 44e. 2tn a = 24 ex utn etx 2a tetg in ran: Etn s : () 24 1: in ergo X = ah. 2AN: 2g n et XY = 16n 4 16 - 32n + 24n gn + n sit a X S pt 24 fiet a+x = a. 1b - 32n + 24n= 9n6+ n 4 16n = a. 16 3 on on i X+ = aa n: 4 an +p t a a 2an =9a n2 4u ga qa 4 a 2an r an: 4 4n na mensuratu habetur alterius dimt uut extrivus mongentus dasis habeript sentrum gravitatis ope scumnae quadralorum ita extribus cctirum viriba, datis centru agitavis sum un agnotas voco aliquando figuaas quaerum Mea novalentrobajyca jun. 7b. repelita, non qui cendum habieram dum regula in descena aliquid omitat vel assumit et quaeratur via centr gravitatis omnium, idem in radio gistato. et in evoluta 1= XX 1. 2. 1 - XX SI -XX 1 -XX ixix + re XX2.2 ex Hic datur interpotatio stmmarum per serem infinitam sunt i X + X M enm 1. 1, 1. 2. 1, 133.1 erc. nempe ante summationem sunt 1- 1XX 1 2XX+ 1X ) 1-3X + 3X - f). inter hos medes earumque opetollas numeris eminorum deinde facise habetur summa. Aliae serres tales excerui possint ol. quii specialis aequationem, et deinde et alteriu inset B. b.. et (b, 9. ponuntur aequalra ut in ultimo fit propositio reserei infinitae et er Tabula coallisinua, oblique descendentes, ut ista recte Methodus convergentiaratalis pro invemendis figurarum parametris, cum datae non sunt relao communis inveniri Cunius v. 9. C= Sbd 9 = 26d Non videntur specialis anguli subsectiones povam dare relationem ponticulariorem inter b et d 9 media Eurmonira inter d et 204. Quando Vbd b+C gred 6+d. radit exprimendus media Ghomeliso Eet ex b at d ve ex b et e universaliter, salte cum aliter id aeri non posset tronscendenter est enim ex ipsis delertamat. Tubento numerus cerminorum in calculo con evanescit et a rad– possiguitas specratis quadraturae eo rediu ut nova specialis relatio ibi inveniri possit inter radium vig. et dues poti donantem ectoris subsecti quae non resolvatur, in generalem. Videndum an sallem tolis retat transcendensdari possit estim si tascendens bari non , nec analytva datur. Cuid videamus an problemdformari posint, v. g. an liceat fe sigvere. tale problemas: invenire sectorem, in quo relatio inter nin proxima polygona inscripta sit perpetur tati e recationis, vib gr. progressionis Arothmelicae. Verum jam video id esse impossieilo nq ita hacicum alia adhucha reatur relat iter a, b. b, e, h polygores, si nova adhuc daretur, tunc tollendo are eah ope Cumum daretur relatio inter solas b et ex quod pto esse impossierte, fierent enim rationis constantis, cu nulla alia litera caleu nisi ponguus func cursus radium intervenire tib a relationes assumta nintervenit radius. Ita Tasso evitari potest im possibilitas, rescerta autem oresatione inter b, et f. a utiique datetur Terminatio quaeri quibus modis possibile sit invegire sectorem, cuus trin quaeris polygona habeant datari relationem ad radium. idque vel ideo ingrediatii quia quivis sector etium subsector ejusdem quavi unde oportet ecoris salis facieret ram reveranullus sector est induplicabilis, scilicet circulo ptus semel insumto. ternus hac methodo reuoriri dim Bquando licet, item quando duarum fumurarum quadraturae a se invicem pendent, forte fieri pt ut potygona echum labce addibidam seu remendu est tungens qua ad arcum chorda parallela segnsata maxntem 7. per 16 112 3+ 1 = 113 352 13 = 35 qed ne Boscitus libello de Numero perfecto ita derivat Metri nopigninquadem ex Archimedea vodentur ora Cheoremata Cetragonistica posse demonstrari expotygonis et convergentib eniem jummatricis propiietas repercata haber potest ex phopitetate sertei dasferentralis, sed hine inon datum diminatio serder