# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068124:0315
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068124:0315?run=73
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 8, 30
# Folio 156r, page id 00068124:0315
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068124&page=315
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068124/jpgs/default/00000315.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 141 lines, status machine
# Lines: 141 recognised, mean confidence 0.83
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

dantur imagmariae diversae f.1 Y.1 e-1ec quamquam omnes non sint nisi radices qua- strs
raticae primae vel secundae ex prima f. 1. Ad hanc ergo ora reducuntur, et licet
putaverm, S-L-1 daze novam imaginariam, re tamen satis exeussa video .1-1 habere
unum casum coincidentem cum sola 
-1 quia Y sempersua nagura est ambiguum. Nam
generaliter si Ta est posibilis i- sa etiam est possibilis. Tand interim manifestum est
Y - 1 continere +
2
Veroi + - Y- 1, -+Y-1-V- Y.. Midendum an imaginarius
tu impossibilibus aequationis radicibus excostentibus quotcunque semper resceriri
possint duae, quae intense comparate quarum summa ddiferentia sit possib rteu factus sint
possibiles idque ata in quadrata quadratica. Ain videtur sed in oclavo
gradu potest dubitari.
Quatuo Certendum
esis equatio
humis sequalio haberet divissiem possibiletet
emper les succederit.
cunes quadinturae reduci possent ad Quadraturam
circuli X Hypebolo. Videndam lin omnis aquatio possit sesolvi in duas possibiliter expressas dimidii dimensionum
igitur ut d aequalio X+ et resolvatur in dinsem dividatur per formutar  ocerum 6.o, et ita poto
numeri. Ut  e. in X, etc. Quatuor rerum sunt sex biniones. sex ne
sed fieri pt ut illa habent nullum radicem possibilem itaque fieri pt ut X non possit dividius per formulum quadrabuca possibdem
A 6 juo habfent 15 biniones equatio X6 semper habebit divisorem quadralicum possibiliter expressum. (ed idem quod de 6
dicentum de 19, et 14 tC. et quod de 4 id de 8 et 12 Tc
quodutatem determrratur tex a lateribus et uno angulo vel hbus lateribus et rangulis
Adobu lateribus et 3bus angulis non vero ex uno latere et fribus, vel quod eodem redit e ansulis
An sorte penlaronum requiit 5 latera lk rangulos Ut assurratuue progressione
triangulum odiget durobus lateribus et mullo agulo, quadrangulu Tlatento
Geometrice deseuminare molum ducendi lineas transversalis pro subdivisione quadrantis
Utitis, quia ca ratio simplici sima. 66 kan mit einii poston thie stribus weohe gysis
gora
SERIES
Curva qnea rationalis pro circulo  habet flexum contrarium F ex opposito punctiqus medii inter A verticad (centi
1
2 3 4. serios 0. 1. 2. et diffeentrae primae 10. 14. secundae 20. 21 etg. Capitu difperentiau pra
10 1 n
20 21
22
13
10. 10.20. secunda 1. 11. 21 s si series ex capritibus diffecentiarum continuetur datur
summaseriei. 0 = 0 1= 0+10. 2 = d +(2) 10 + 20 3 = 0 + (330 + (3)20+36. Et contra.
0- 0 10 = 0+ 1 20 = 0+ f (2)1 +2, 30 =0 + (3) 1+ 6) 2+3. Hinc serres concinnari p x additunibes capuitum
differentialum quod inprimis utile cum serese diffecentiae tundem evanescunt. In Hamonicaserie
series differentiarum coincidunt cum seriebus captum v.g. 0. 1. 2. et cum 0. 10. 20et es
10, 11. 12 et Ead 112
et qua si serels capitum contrnuetur in Triangulo harmionico statum patet sumgra proserdei Eahmonrea e
frnctionum esse infinitam, Videtur facilius serrem continuare, quam interpotare
serres fractivnm
sonum nomimator numerator semper Uinitas moniratores sagnifirentur per 1. 2. 3. etc func caputa differen
tiama erunt:
s
2-
P2
3. 2. =(2) 3. 1 4 2. 1. (4. 42 L(3) 4. 3.1 +(3)4. 2.1 - 3. 2. 1)
1. 2.3
1. 2, Z.4
et
vallis. Si F, 3:2, 5: 4, 7: 6, 9:g in se mvirem ducantur fint numeri 3: 2 305: 24 3.5.7: 246 erc si intergo–
tan possent daretur Celragonsum.
si terminos lies quos libet vocemus A. B. C. reperi fre 3BB- 2kB + AC
ubimiram si B it C sit  15: 8 et B sit 3:2 fieri A = 1: 1 praeter saem revera tergo primuseriei er 
quod non putabam. suet sit series
1. 2. 3. 4. 5. 6. invenimus relatiomem inter 1. 2. 3 et 2. 3. 4 eande
quaenamus nunc relatonem, inter 1. 3. F, eandem quae anter 3. 3. 7 et quod inter 2. 4. 6.
itionem per duplicem saltum
om
deinde quaeia
e
ita habebimus seriem regularum quae series Negularum seu 
tionum si ipsa continuetur retrorsum, hdbelitur regula interpolationum.
sinies mea: x 3 ZC 99 195 323 483 675 399 E
rela
videndum an summas primum duorum deinde trim et
i ii inreviri possit
yy-1 propurcas replicular
Generaliter (yPaq = y: pri in numeris posito p essie expotentem potentiae pronice ipso p existente
numero gradus in directis pvapositivo in reciprocis puivativo. Itaque pro summis utile forat potentia
commune rerocare ad pronicas sit
y = 5
v y-. 5 - (1)
y = V - 105+ 25 V - 15 ) + 1 sit Tabula numerorum
sic 2. 3 +1 est 7. 2. 7+1 est 15 3. 6+7 est 25
Hinc 5y = 2 f1
sy = 5 5): g) Sy = 33- 3 5
 y - 6.4 75-, yet
 eae pate= y- 3y+ 
31o 95 380Ec quncet
yvel 5 naturales ye scriangulares
y paramidales Triangulo Tim
posolo y esse pro natmales antimet ers
contra dy = 1dy dy = 1. 2. y dy = 1dy dy = 1.3, 5 dy - 3. 2 fldy 4 1dy dy = 1. 8 y dy - 6.9G dus 17 y dys
si detur summa
3 +  + ete dabitur et suma  + + etc vel contra At quam et quadiato
quadrali, reciprocorum triangularium pendent quarato quadtalis recipiocorum naalum et aquadralis
recuprocomi livangularum, quae i quadratis reciprocorum naturatum pendent
si sit C= 1
m+d = in - . +
m
2 +d
1-
m
et C. Ret ce =  - 2d + 3d d  et C==
m
M m+
m+ nis mo
si sit series 2+ L + d + d erc. erit series quadrahilis d  d +  + d et. Hinc posita d - 1. habebitur summi
q
 +4 +
et c per quadraturam quada sum matrrcis Hyperbolae
S2+ M2+ SF e = 2. CF3+ 53t, (3+ Y3 et = 13= : 2. dem est ac sidicas este BC = C
quaeritur adeu summaserici talis = + +, +  + + o c
2
Ultimasti Euclidis usum habere t in infinitis
dy yy sposito y esse numeros antemetrcos
quaene differentiarm ipsamim
in has tres. dy
yy +)dy
si facium:=
1
12s y + dy
2
1
et
dy dy
1l yytu
ea resolvi potest
+ fiet Z = S +XX + 2X - = sed deberet Z4) eodem modo fieri ex X + 1 quo Z ex X
quo facto X foet summa seriei. Ergo Z non pt esse rationalis quid si a2c
XX + 2X
7-47
2 XF+ 2X et similiter
ri quamq  duarum ope tollendo Z debet X eliam evanescere seu prodirie
 
X+ 2
alsem identica, ex qua X invenri non possit, et sumura habebrtum
poteul resoloi fosau per exponente grans latam ad seriea infinita
cebes
seriei ineae 1: 4X FE - 1 summatux (V) - v = (C) :h = :h = S() = (5) (3,: h: )
ansonemen at ea fitlemins sec te er et
ho). () Cd = 1), vel sultem in (2) et hi(k) = 4X- 2 -1 si h et
oa procedis