# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068176:0010
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068176:0010?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 11, 3
# Folio 5v, page id 00068176:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068176&page=10
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068176/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 89 lines, status machine
# Lines: 89 recognised, mean confidence 0.90
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Trigonometria spharica projectione in planum explicata
Insphaera centro F. radio FA descripta, sit Triangulum sphaericum
(ex arcubus circulorum maximorum constans) ABC pharam in
tribas punctis A B. C secet planum ABC vel (pro ductis rectis, AB
versus R epAC versus L) planum AK L
cum puncta F. A. C.
sint in eodem plano. AC proinde et rectae AC et F, cumque hae duae
recto non polo A ineridianis continuatis ADCABG seu qua
drantibus ABG, ACH describatur arcu aequatoris GH. qum Et
FHt aequales ipsi FA, et ad AF normales
sphaeramferet planum  transicus per puncta AB. C, et AHL, erit
ducantur Radii
perpendicularis ad planum
sectio communis triangulum a rectilineum ABC, producta
retta AB vers  et AC versus L Arcus autem erit mensura
Aicus autem aequatoris nempe GH erit mensura anguli
Habemus duos quadrantes planos ABGF et ACHF, quorum
angulus est idem qui rectarum GF, HF, unde arcus aequatoris G H erit
mensura anguli duorum planorum, seu anguli sphaerici A.
jungantur puncta A. B. C, rectis, et habebitur Triangulum
est perpendicularis ad
planirectam cui occurrit,
Duo plana eum faciunt
angulum inter se
faliunt duae
rectilineum ABC quod erit communis sectio  sphaerae _ et plani
per tria puncta ABC transeuntis; cum rectae AB, FG sint in eodem
plano, sunt enim ambae in quadrante plano ABCF, productae convenient
alicubi in puncto K sparallelae enim non sunt, quia angulus AB ad AF
acutus, GF ad AF Rectus ) similiter AC et FB, cum sint in eodem plano,
nempe in quadrante plano ACHF, convenient alicubi in L
recta AB sumatur punctum medium N, et in AC medium P
jungantur FN, FP, erunt anguli FNF recti Nes P recti.Ergo
tirangula rectangula similia ANF et AFK, item similia APF et AFL
Ergo AN: AF: NF:: AF: AK EFK. similiter AP: AF: PF:: AF: AL: FL. BC
Ergo AF media proportionalis inter AN et AK, item inter AB et AL. (ALA AB
ergo AN AK aequale rectangulum sut NAK aequale
rectangulo PAL, ac proinde et rectang ulum BAK a quale
rectangulo CAL Ergo AB. AC :: AL: AK
Triangula
ergo anulum ABC, AIK angulum A communem
Hem B C (AGAF
ABZ AC
proportionalia
KL X
habentia, et latera angulim comprehendentia, Ex his si valores
linearum rectarum quaeramus, erit AK iiqu A
Ab. des
et KL aequ. BC. ALV, AB. et K ae vel quia BG est Z BC, et AN est Z AB;
t KL aego B2. AL C. AN et pro AL substituendo valorem AF~ AP. fiet KL aequ B8. AF C. AB A N
seu KL ad sinum s lateris a Lateris Triinguli sphaerici) ut in composita ratione
simus totius ad sinus reliquorum  laterum. RF aequ. AK= AF2. Ergo KF rego AF- AF. AN, CH
seu KFaequ. AF SAF= AN CAN et L F aequ. A L= AF. Ergo EF aequo AF - AF. AP V AP ergo erit
LFaqu. AF SAF - AP C. AP SAF = AN est FN. et LAF- AB est Fp. Unde KF est AF FN AN. et
Uende RFaqAF. FN.  C.AN et LF e qu. AF. FPC AP. Unde patet valores HL. KF. L.F confungendo
fiet: H AT. LPC LF. FKVLK aequ. FN. FP BQ. Quae theoremata omnia sunt elegantissima
Et dalo chiangulo ABC plano, seu sinibus a laberum tianguli sphaerici potest constrmi
triangulum FKL habens angulum F eundemam angulo tranguli sphaerici A. idemque est de
caeteris angulis dem tria sphericis. Unde datis omnibus lateribus trianguli dphaerie
habentur et anguli. quae calculo prosequi opero pretuum erit. Si jami addatur alibi a nobis
aliisque demonstratum sinus laterum et sirus angulorum oppositorum esse proportionales cuncta
datis autem tubus lateribus . FL, FK, LK. angulus F ex communi sigommetria
ita invenitur: fiat ut duplum rectanus FL. FK ad differentiam inter FK + FL et LK. ita sinus totus AF
FB ad sinum complementi anguli GFH. (posito R quectum restus intelligi debet). Ere. 
per popin dicta LF. FK aego FN. FB. LK C B8. Et LKVBH ee gu AFE AP. AN. Ergo L. F. FK. aequ FN. PP. AFC AB. AN.
sint FR. FS. FH. sinus compli angulorum A. B. C
C. AP. E XN
+Eafr. B2
Ergo FSoAF aequ. ( + FN BC + PZ. BN L FT. AP: 2, FN. p BG. BN
+ FPOCQ + FQ. CP L FY, AN: 2 FP. F~. C9. C]
sunt autem AN et BK, item AP et CP, item C9 et B9 aequodes. sinue scilicit recti arcuum AB, AC, DC. simum rectam arcu
sirum rectum vel sinum gpl. aaliurcus AB. scribemus Si AB. SCAB
: PQ siuunt sinus complementi eorundem arcuum.
os emente antali A. sarltunusi Sest et ilu valores ipsorum Y.R. Fs fV. siu scd. es sit demosri 
rise A aqu
FR +FL  LKI aequ. +AF FND AN, +AF. FP~ AP, + BE2 AF AN. AP. se.  J AF. C. Ap pIF. FB AN A BE. AF, C AN. B)
eritque FKF:: _ + FN. AP +  KP. AN F BE : 2, FN. FP. AN. AN.
seu FR. F lequ. 4 L.  +
Et FYo FCeq
si ds
angulum facientes
En
AH et AL aequ AFC AP
erunt similia, et quod notabile sub contraria
eotauilius absolventur
per
polo A. lescribatur GHaris
eequat
sit sinus Totus (T.