# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com # Page: https://leibnizlegible.com/page/00068194:0018 # Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068194:0018?run=74 # Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 1 # Folio 9v, page id 00068194:0018 # Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 10r); this page is its left half. # Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068194&page=18 # Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068194/jpgs/default/00000018.jpg # Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 87 lines, status machine # Lines: 87 recognised, mean confidence 0.88 # Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German. # Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text. # Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote". # After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line. Hfine Aprit 1676) notia infinitem l es in erpoli tions B ab. 111. armoni st 6 15 1 7 21 25 35 2 ada quar. item pro re 1- a. sumi potest a- 30 6 30 3 a a ree Tab. 7 à an aae ar ar 13 at ar as) au3 24 à ar a er 5 sit Tritineum duabus rectis AR. RD. et Curva AC D. inclusum eA eri Recta AR, tota sit +. Abscissa AB sit a. Residua BH sit Y Ordinata DC sit Y. enis purcudcati oiium eprolet ut si po sigura quadratum _ AADE. i si y sit a vel Y, Ponamus jam esse sit u seu si ordinata BF sit AB. ex S pro figura ARDCA, erit triangulum semiquadratum ARD sin y a. vel posita t, 1. si yp a B pro fignim ARDCA, erit AR DGA trilincum parabolicum, et. ita de caeteris altioribus, ut si y sit a, vel at. si vero sit yB ar. seu si ordinatae BH suit ut restangula ABR. erit figura ARH A proportionalis Elementishem phaeri atque ita omnes termini Tabulaei Porro quoniam harum figuram ordine perfiguras poterunt exhiberi, quarum ordinatas exprimant. omnium quarum ordinatae Tab. F. exhibentur, datae sunt quadraturae (sunt enim omnes ex genere parabolocidum, quipre rationales integrae) ideo areas interum figurarum seu summas omnium ordinaturum ab A ad A. expressimu Tab. II. Nempe Omnes a. seu area AA D. est quadrati ABDE.. Omnes a, seu area ARDGA est L ejusdem; et ita de caeteris. Si jam fractionesse invertendo in integros transmutentur fiet Tabulas quam patet factam ex Tab. WV. numerorum combinatoriorum, serie tr parallela quavis in sericinumerum 1. 2. 1. 3p 3, 6. 3.. etc multiplicata, nam 121 p 1. 152 isa p 2. 2. Quonam ergo ad hunc velut fontem pervenims, jam ad Tab. I. redeamus. Eam vero deficicutem esse patet et posse suppleri Exempli cansa si detur figura, cujus ordinatae sint ta. Ya3. e quoniam vero hoc modo reperiuntur hujusmodi figurarum ejusmodi completarum; vedendum est an non eodem modo. et portiones quaelibet mensurari possint. Exempli causa: BH y B ar. Est YH + - a. Ergo y at- a seu potita t, 1 erit yp a - a. Ergo summ y - 3a - 2a, 5 aodem modo si sit yp aY. B fiet YY a - a. et sumus a - 44 3a. Inde brevius: Sar B) Zar + 2 a7 = ar+: a. Et similier: Car H 3 aer + La aer + a Eodem modo saer = atr + : at quaeramus et famm ar. fiet p 322 24 10c Unde patet regula generalis, nempe. Ad habendam summam figurae, cujus ordinata sit verbi gratia, aeu 5, 6. termini combi natori valeris ipsius Y. eac suis effecti potestatibus, ut 1. -2a. 1ae. ducantur in harmonieos, seu practiones diero iinitatem pro numeratore, arithmeticus pro continuos pro Numeratoribus habentes; ita ut moximus denominatar, unitate differat sit 5. (hoc loco) exponentium potestatum a, et r. summa. Nolandum autem est, si ponatur ultima a p) t r1. seu si de n figurae completae summa agatur, tunc reductis omnibus fractionibus ad communem denominatorem semper fieri posse ut fractio non habeat nisi unitatem pro denominatore, vel vel ideo quia in Tabula 1I. id semper evenit: adeoque quoniam id semper evenire recesse est quomodocunque atternatim affinmati et negatior conjungantur, hinc poterimus aere problema sane momorabile: scilicer si sint Numeri combinatorii quicunue ut fint A 3(+ 3B. et ducantur in totidem fractiones harmonicas simplices continnas, ut . f. - 7+ 253 5 reducta fractioe ad commonem denominatorem semper cec redu potest ut numeratorem habeat unitatem Y567 - 467 +, 4,5,7 - (4, 5,6. Et pro integris 210 - 504 + 420 = 120 6 co hoc poterit condi theorema memorabile, si nemeirGrasienie Charcronicae, ducantur in seriem si in seriem numerorum combinatoriorum, (t 1. 11. 14 13, eu) ducantur totidem numeri harmonici; alterutris alternatim affirmatis et negatis, factus erit productum totidem uno minus, numerorum ordine deincess ab unitate sumtorum, ut 11 -2 ) + 1 in 30(. 2480. dat 2,3,2 1.( 23 ( + 3) = 1 in 2101 504) 420 ) 120. dat 65 1,213. Unde mirabilis etiam ducetur aequatio. Nempe: si in seriem plenam Numerorum combinatoriorum alternatim affirmalam et negatam, ducantur totidem Harmonici quicunque, semper provenier idem. Et porro si series plena Nmnerorum Combinatariorum, alternatim affrimatorum et negatorum in totidem differentias m sener numerorum coriorum continuorum ordine sibi detractorum ducatur, factum aequabitur nihilo: ut si sumatur: 1 2) 1. ducaturq in 2,3 - 13, - 1, 4 +516 446 24 A24. 21. 18 Nam +24 4 =42 18 sB. Hinc aequatro duas habens radites aequales per hos numeros ut 29- 21. 18. multiplicata mgnet aequatio. Unde conjicio hos pro– ductos hamonicorum in differentiarum d respondentium harmonicoru dare numeros progressionis Aithueticae, ut vicissim credibile esst differentias ejusm ni 11 2 +1 dectos sempe quatuor harmonicorum, emper dare numeros Triangulares. Ratio quia Auchmetici in num1-2+) ducti faciunt 0. et triansuea ses Tab. II. 6 30 60. 60