# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068194:0108
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068194:0108?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 1
# Folio 54v, page id 00068194:0108
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 53r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068194&page=108
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068194/jpgs/default/00000108.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
# Lines: 72 recognised, mean confidence 0.95
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

iisdem positis
in Hyperbola si ordinatae ad Aymptotom
sint progressionis Arithmeticae, coordinatae ad alteram Asymptotam
sunt progressionis Harmonicae. Nam (fid. 3)
si A C   VO, YT, (Y) T (vel et
CZ, CZ, C(Z) sunt ipsis vX vZ, YZ, (Y)(Z) etc
reliproce proportionales, per corollar. prop. 4. Ergo (per prop
Si (CZ, CZ, C(Z) etc. sint progressionis Arithmeticae
erunt vZ YZ (YZ) et progressionis Harmonice
Schol. idem est si dicamus Abscissis existentibus
progressionis Arithmeticae, ordinatas esse progressionis
Arit Harmonicae vel viceversa
ex Asguptoto
Quaecunque recta socat Hyperbolam, nec occurit
et Asymptotae Arpallela non est
omnis recta quae Hyperbolam secat, ocurret seab occurret eidem Hyperbolae
secatetiam Hyperto
vel in lateribus anguli
quae alterutri Asymplota parallela non est, secat utramque occudvit sumproca utrique ocurrit e
i vel oppositae a uc in uno puncto. Nam recta
secat autem vel in medietatobus pertinentibus ad eande Hyperbolam qu
eandem hyperbolam bis secat, cadit enim pars ajus centra tranc hyperbolem, ex eo autem quod est intra Hyperbolam
Itaque cum pars ejus tadat inttu hyperbolam cum enem par ejus sit intra et tunc
nec ad Asympitetam pervenire potest nisi Hsemihyperbola ei adjacentem set,
ergo utraque secabat demihus perbola secabit occurret recta secans.
Quod si recta secans occuriat, Asymptolis in medietatibas ad Hyperbolus lateribus il  angs
oppositas spectantibus; cadet intra utrumque angulum asumplotasuri, eum
hon H unam hyperbolam, et qui oppositam spectat omnis autem recta
quae transit per punctum cadens intra angulum Hypenbola Atymptotarum hoperbolam
spectantem nec ambas secans asymptotos, hy
sit recta Hnperbolam setans in I (fig. 1) neatii Asumplotae parallela neuhri Asu mptotae parallela
quae Hyperbolam se cet in i dico, quod vel ipsi adhue semel occurrat in e
vel oppositae in ((). quia necesse est m  utrique asgmptotae accurrat a occurrat, et quidem
occurret vel in lateribus eusdem anguli ad alterutram hyperbolam
spectantis, a Cβ, punctis a et β,  quo casu, cum a puncto
Quod habet intra hyperbolam quam secat, ad  asympeo  rae  punctunque adeo ejus (d
non nisi per semihy perbolam, et adiacentem Ce perveniri possit secabit eam in puncto e,
eodem moda eademus ratione, alteram in puncto i Quodsi vel recta secans
Velx occurret asgmpo asymptotae utrique  in lateribas angulorum
diverjorum angulae scilicet, dyperbolam BD respicientis in (∞), et hyperbolam
puncto unius asymatotae, et B angulem hyperbolam PY respicienti, in (β)
puncto alterius nsimptotae. itaque recta ist) i(3) pun catet intra parte aliqua ut (βB)9
intra angulum Hyperbolam _ pY respicientem aster autem latros hajus anguli
pecurrere non potest seu ipsi (_) C proinctae occurrere non potest, ne recta eidem rectae, cui jam occurrit in (,)
reta bis ocurrat, et omnis recta ransiens per punctum ut e cadens intra
angulum Hyperbolam PY respicientem, quae utramue utrius H Aumptoto
atgpoto seu lateri anguli occurrere non potest, occurrit Hyperodlae, cum pyperbola
et asumplati et lateribus anguli omne spatium claudatur itaque necesse est ut
id est intercepta et in sx directice inter tangentem t ordinatam)
Y in puncto (e
recta i(B) occurrat etiam alter
Subtangentialis in Asgaptota aequatur abscissa exsur Asmpsota +Z quamm ill
Ex puncto Y (fig. 3. Ex Hyperbolae puncto Y ducatur tangens Hyperbolum FT, et ordinata ad ulgaptam adjacentem
quae Asynptotae adjacenti occurrat in T= dico esse R C ZT -CY F  B,  haec in Z
ponatur YC non tamgre Hyperbolam, sed secare. Cum enimengo puncto
haec recta puncto aliquo suo ut Y cadat intra angulum F C A, necesse est
hec alterutri cius lateri sit parallela, necesse est utrumque secet utrique occurmt,
ergo (per prop.
aden Wyperbole a v B () bis ocarret, neupe prater punctum  Ap aseo etium  ett
 agantur ord inata MN
in puncte Y ei  quocunque alio M. ad Asymptotum
et :p Y in MN prodactam si opas agatur normalis  erit LM difereatia inter
MN, YZ; et YL vel ZN differentia inter abscissas CZ, CN
sunt autem YZ, M N, ipsis C Z, (N reciproce proportionales (per coroll. prop. 4.)
Ergo sper pron . . ... Cectit corollar.) erit LM ad  YL ( YZ ad CN ut LM ad YL
sed ob triangula M LY Y Z T similia est YZ ad YT, vel ex constructione YZ ad C Z ut LM ad YL
Ergo aequantur CZ et CN pars et totum, quod fieri non potest. Itiue I hyperbolam non secat sed tangit.
Schel. potuissit ratiocinatio aliter concludi ad eum modum qui alicubi apud Euclidem aliosue viteres
aequantur CN CZ et CN, atque adeo et coincident puncta Y et H, et revera recta YY non sent quae secare
Egit. Haec locum habent quoties anus Tasas in oppositum abil, dum diserimen evanoscit.
 cubta apentialem Hugenii exemplo appellamus
 ad eandem Asy nptotam