# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068194:0171
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068194:0171?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 1
# Folio 86r, page id 00068194:0171
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 87v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068194&page=171
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068194/jpgs/default/00000171.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
# Lines: 56 recognised, mean confidence 0.94
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

invenire Triangulum rectangulum in numeris
cujus area sit quadratus.
sunt latera ejus Xay. Exy. X+. Erit area Xy-ry
quae debet esse quadratus.  numeros rationales integros
Pono autem X et y. esse primos inter se, seu nullum habentes communem
divisorem. Si Nam rationales utique quaeruntur. Integros autem 
poni posse salva generalitate solutionis, sic ostendo: sint fracti, seu
sit a aequ A, et 3 aequ.  nam intelligi possunt hae duae
fractiones reductae ad communem divisorem B. et fient latera
hianguli A. C 2AC A+_ et auta AC - AC quae
 B
hebet esse quadratus ergo AC = AC debet etiam esse quadratus; itaque
BB B assumta nihil mutavit calculum. Eodem modo ostendam
si ponatur et si quidem res procedit in fractis A. C procedet
etiam in integris A. C. sive X. y. posito B non esse renitatem
Eodem modo ostendam X is haberi posse pro numeris primis inter
se habeant enim si opus est communem divisorem B, seu ponatur
X aequ AB, et y aequ. CB. fient latera Trianguli nostri
A. B - C B. 2 AC. B. AB + C B et aB
et area AC B- AC2 B+. quae debet esse quadratus, ergo AC- AC
debet etiam esse quadratus itaque B assumta nihil mutavit calculum
et si quidem res procedit in numeris den condivisibilibus  procedet
etiam in primis inter se, itaque oi A. C. vel X y. posito
B esse unitatem
jam si Xet Y. sunt primi inter se  tunc hi
item X. y. XHG
quatuor numeri X. y. X -y. Xty;cerunt primi inter se. Nam
ponamus X et X -y non ess primus habere divisoren communem, utrue
per illum dividipoterit X et X-y ergo et y. ergo ergo X er y habetit
communem divisorem contra hypothesin, par est ratio de X eriaety.
alium quam 2. Sed nec X -y er X +
item de y et X - y. et de by et Xty
alium quan 2) habere possunt communem divisorem calioqui summa ectum 2x e differ
2X et differentia ay et atiert et alternter perbi gratia
et differentia. 2y alium communem divisorem haberent eundem
Scilicet quam ipsi numeri x-y er X+y. patet etam
Porro quia duo quilibet humeri quaedasum simul procedentes
aut sunt quadrati ipsimet, aut primi inter se
Cum
ergo quadlatus, (alea scilicet trianguli quaesita) debeat
pproduci ex Xy in X - y et vero Xy et X - p
C
primi inter se quia X et C
facile Xy et X-y esse primos inter se nam X et X. y
Wunt primi inter se (quia X et y) itemque eodem modo _ y erx
itaque nullus divisor vel ipsius y, vel ipsius X (adeoque nec ipsius Xy)
potest esse divisor ipsius X.y
Porro duo numeri primi inter se non possunt producere
quadratum nisi ipsi sint quadrati ut otum est per prop 20
et 26, Octari Elementorum nam si producunt quadratum, erit latus
e quadrati media proportionalis intem ipsos Ergo per 20. octavi erun
similes plani; at per 20 ejusdem similes plani sunt inter se, ut quadratus
quadratum. Ergo duo numea proo Duo autem numeri primi inter se
non possunt esse inter se eut quadratus ad quadratum nisi ipsi
sint quadrati
Ej