# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com # Page: https://leibnizlegible.com/page/00068194:0485 # Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068194:0485?run=74 # Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 1 # Folio 243r, page id 00068194:0485 # Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 244v); this page is its right half. # Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068194&page=485 # Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068194/jpgs/default/00000485.jpg # Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 114 lines, status machine # Lines: 114 recognised, mean confidence 0.90 # Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German. # Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text. # Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote". # After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line. Numeri progosionis Harmonicae. et propicetates quae tione ogervatae +. Z1Z I eotum progressionis Harmonicae natura est, ut s tribus quibus libet po sumtis terminis continuis, sit primus ad tertium ut differentia pri et secundi Algebraicip eset erit: a H = et a, b-BCp, a, C- _C et . 147 em cujus aequationis ope, quarere possumus valorem vel a. vel b. vel 5. sed satius quarere valorem ipsius sive medii, nam nulla est ratio cun alter ex tremorum prae altero eligatur, itaque D (, 4, C. id est medius trium terminorum progressionis harmonicae est duplus facti ex extremis, divisi per summan quaeramus et extremos, erit scilicet a , b, F c ex 21 b eri 3, b Ergo assamento a. Ea b sui Ea -b sive reducendo ad unum numeratorem, quod etiam aliquando, utile est, quemadmodum alias ad unum Nominata ab sunt, autem b. a. 2a- b Termini progressionis Arithmeticae nam duplus medius, aequatur summ Nd mediorarmona rac reciprocum est extremorum. E prolarbi Divisius omnibus per ab, sir: aeb ab - ab hinc Ap a b. et AA frei B2, sit, quartus Continguate hujus progression quartus appellendo secundum fiis quartus AeB et CH B- 18 a2b. Ergo b- debet esse cubus. quod praestabitur si ponpem a H 1. et b p 1 erit enim 1I 2aVb 2a- b e Qui phimmus est casus, et oritur progressio bar monica prima 1. 1. 1. ate proxituus gradus est, ut ponendo b1 fiat a e 5. et fiet: tiplicando per abris, fier+ etc sive omnia mi sed quoniam srogressio quaelibet eadem manet si tata per aliquam quantitatem dividatur, ideo et tocum dividendo per ab, fiet. Quaritur C. quamsic inoericum: a resumendo: ab: L. L b sit quantus drminus 1 Ba Agrab Ex A. B in progessione Htarmonica Ternum decremcentis fit enim quartus ex secundo et tertio, ut tertius exprimo et secundo, ergo inserendo valores A et C. In valore C, fiet fiet ergo progressio hermonica: + a - 2b, - a 5 3a - 2b 2a - 3a -2b 4a - 5b id est s ejus Termini sunt fractiones quorum Nominatores sunt pro quae hoc praestaret, si nesciremus esse tammoni ai gressionis Arithineticae incipienitis a a b. et continue crescen- tis defferentia Unde paret ettam omnes posibiles pro- gressiones harmonicas, enumerari posse, qui a a. et b. sumi possunt mo arbitrio modo a, major quam b. Deinde sequitur hinc Progostionem Numerorum integiorum harmonicorum non posse continua in intmitum. Nam ut in integris exhibeatur progressio harmonica reducendae sunt fractiones ad communem denominatorem. quo abjecto habebuntur numeri progressionis harmonicae integri Sed patet eos longe alios fieri pront alius atque alius sumitur denominaton alius autem alius oritur denominator, quando aliae atque aliae sumuntur fra- ctiones, quod fit, quando nunc plures nunc pauciores fractiones assri muntum. Hinc difficillimae tractationis haec progressio ist, ob continuam variationem, ut tamen in ejus natuoram in integris per compendiisas. inductiones inquirer possimus, operae pretium erit ordine enumerare omne series integrorum harmonicorum afinitas, quae ex infinita unica fractioni L = etc. fieri possunt. D Ex. primo sit 1. ex duobus primisibjecto communi denominatore, et reducento ad nmrctionem 2. 1. extrib primis, 6. 3. 2. x. u expressa in Tabula adjecta per , ex quatuor prim 24. 11. 8. 6. expressa in Tabula adjecta per 6. Atque ita continuari rabule tre ushis mu aet riet enencues is serenicanm 120 t 18 500 120 144 180 240 360 720 36 0 120 360 12 24, 60 240 72065168 1260 1650250 Zo et bo bdo 22o sequ ad differentiam secun 1 tertii: 4 b ees b. 7 aut characreres, Bs d 6 Ot10d qo 1080 Differentiae sunt, primi secundi terti gtat, Notandam Tabula 20 Tabun fi contilulaie potest, si quo includuntur laes, rectis aa Incrementa primi secundi tertii grais quae recument primi secundi tertic guadus quae includuntur rectis Cc. (1) (C) etc. differentiae incrementa, decrementa, sim pliciler, significant ea quae primi gradus differentiae primae, incrementis, secundis, 2da tertus coincidunt, sive generaliter, series thorczontales coincidunt obliquis decremen alibus; in progressione harmonica. difficile foret a priori in venire progrestionem in serie qualibet incrementali termini ab extremis aequidistantes coincidunt. intinuatio Tabulae per series, seu progressio progressionum harmonicarum sive serierum. Series sequels tret ex prae cedente, si ultimus praecedentis, fiat primus sequentis ex reliqui sequentis, suit ommnes saisite aalem ordine seriei hespon- dentem, multiplicati, ut est tertia in ordine, adeoque naturalis ei respondens, sive ordmalis ejus, 3. primus ejus Terminus est 2. maximus seriet praecedentis, sequentes, 3. 5. sunt facti exter- minis seriei praecedentis, 1. 2. in ordinalem continunta Tabule per incrementa, seu progosio progressionum incrementalium, lallum procedentie serioc prin alimedium pusque secu rmaset quordieitt