# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068194:0487
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068194:0487?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 1
# Folio 244r, page id 00068194:0487
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 243v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068194&page=487
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068194/jpgs/default/00000487.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 98 lines, status machine
# Lines: 98 recognised, mean confidence 0.86
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Unae progressimnum Formutarum Rufinitorum omniu  quarumformulae rationates liet fractae. Quod hecctem,s negio
tum diu laborasiem frustra in summis Reciprocarum scogussionum, seu fractionum, investigandis, tandem subito
E lucem quandam hausi. Diu constabat mihi ex Mercatoris methodo posse appropinquando exhiberi 
am torminorumn arms ope 0 ex
ex appropinquationis ope od ex
in sit: 
seu 1 = . 2  24 2. 2 +-2 1
a
uaesitam venori posse cogitaveram. Quod iu per in mentem venis
erc. A1 a  114  v 4 8 ela
1-  erc seu 7- 2 2 14 + 5 1 1
Ergo si series O mnicuratur  invenietur et D, nam D⊓7. O. Fratiorum D   on
Fractionum in O contentarum noueratores, 0. 1. 2. 3. et. Uppellemus y. erit O,, 8 (y)
on irg5  = = + y - 3  y - y- y7 + y - y a y cu r)
et 
seu sum
Aequabiles
folmtae, quae
seci aequati
nem certi gradus sed
lineam non trans
scendentem
dare
possunt
Janc a quia nunerum ipsarum y supponimus esse finitam, haberi potest in numeris S Cet sy et SN, et sum)
 seu, Sed quoniam hoc modo subtrarenda addendis majora, ideo aliter procedemus
Vr.
Et quanquam entamodo subtrahenda addendis majora , si in infinitum
continuetur series attamen si sappropinquatio tantum quaeratur
non est opus iri in infinitum, sed sinisi potest in potentia offirmativa, adeoque et series tota
a harum q potentiarum y - y + yay y erit affirmativa seu nihilo major
et continuari poterit, donec ab  minus differat quam aliqua quantitas data.
 jam si si idem fiar in singulis y, habebimo:
iro B 1 - y 4 y3 - y+ + 95
V
1+c37
() - (1) + 1) 1) ()
3 pt 4D et  e - P 3 +
1+3
er
eu eu et en en
(in ( y. ) 100)
+ (00 (y 3)
N major . p).  est parolo major
jam haberi potest s nullo negotio, summa
omnium J. sut. 2 
ab 1 ad 100. et ita quoque cuborum, et. Cum ergo
in singulis sequationibus evusque produci
possint potentiae, ut sit error minor dato,
poterit in sinngulis, error tam fieri parvus, ut
et in summa sit minor
dato. Et ita habebitur summa
2 + L + 4 + erc + 10d
quantitate quantumlibet verae propinqua.
Sa hic russus video erratum, quia enim y est integer hinc tantum abest, ut didendo continuando
appropiaquemus, ut contra quo  longius continuamus, hoc longius absit error a vero
1 vel 2. vel.
Hnic malo elegans remedium inveni, ponendo y 5 100000b C ita, ut id quod unitas erat,
esit par
1000omat quantitatis alterius quae ipsam vicibus tst continet. Quod semper in problemate dato
1.
deffici potest. Et ita postremae Botestates negligi poterunt, et appropinquabimus pro libitrue.
Habemus ergo viam exhibendi Qvantitalem, quae a summa Recipiocorum Arthmeticae progossionus
tae
Z quantitas verae proponqua,
eritque Z. integer  Jam idem integninur, p 1000, 000 0, , 000eas seu Z. quia ivimus ad ys.
1000
exe differat minus quam quantitas data, quae sit:
vet vp 2 3o easuo
10002
) 1.2,3, etc ,100, 1000, 000, erit Z
1000  ) 13,) eu 100, 1000
Errorn ponatur atsminor quanmt seu V tp Z0 . 23 ex 100  1 seu si omnia nisis per 1000 multiplicatu
1000
1000
100
ntelligamus, eo quae ante diviseramus, v Z, 123, erc 100. et v Z. 12(3, u 100 + 1.
ebetxi numerus integer cadens inter hos duos  ipsius v valores, (qui non nisi unus
tesse potest, quoniam non nisi unitare differunt,  erit quaesitus. Sed iitu Is vero
numerus statim re repenetur fractionem quantum licet ad integros reducendo. Quare res
eo tandem redit,  tantum, ut inveniendus sit numerus maxinius integer in
1, 2,3, ex 100 contentus
1100
eique addenda unitas; is enim major quam Z, 12, 3 orc 100, et minor quam Z 112, 3, erc 100 + 1.
et salisfacit ergo, et solus, salisfacit, quia inter duas quantitates 1000
sola unitate differentes plus quam unus integer consistere non potest
Adeoque infallibiliter habebimus exactam et veram progressionis harmonicae propositae finitae, summam
Hoc jam inventum immensos pariter in Geometria et Arichmetica habere usus, paucis
ostendam. Ac primo hinc dabitur summa omnium serierum, quae ex hujus seriei terminis
affirinatis negatisque componunturque, quales sunt plurimae, ut:
HH
 + 1 =  4 + -  erc. vel 2 - 1 +  - = + + - = erc. Quarum prior exhibet
2dd Quaedraturarum Hyperbolae, posterior circuli. Et hinc jam reperta est via per quam solis numerorum
additionibus, mira faulitate veniri potenit, ad appropinquationem etiam si quis velit Ludolptim
un
lam
Ypie
est