# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068194:0517
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068194:0517?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 1
# Folio 259r, page id 00068194:0517
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 260v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068194&page=517
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068194/jpgs/default/00000517.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
# Lines: 67 recognised, mean confidence 0.93
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

paus ultima videatur
Geraermlia de relationibus Aricrum an seriibus e de arte tractindi relatiors, ut alias ratione
De usu replicationis in serie, ad inveniendam ejus summaricem
quid eleganter haecMethaus nos reducit ad mothodum differentiam. se
b c d e
X, 1 m n p
x = b mihi significat relationem
quacunque qua inveniturpe
Pinamus dari relationem inter a et b eandem quae inter bet C, e et inter cet d ete
et sit l = a+b et m = l +C et n = m+ d et p = n + C ec. Hoc est si b, c, de
sint termini seriei; t tunc l, m, n, p sint summa; tum
Ponamus jum eandem relationem esse inter b et l, quae est inter cet m, ajo eandem etiam fore relationem
inter d et p, et inter e et p.. Et ita porro. Quod ita Demonstro
sit c=  b et 1   e
sit constans relatio seriei talis, ut sit C= b et d-   (∞) b =c et v) c = d et Vd = e
et ita porro, et reperiatur (1d b = l itemque  C = m. dico fore etiam (ed) d = n, et ita porro
conclusiot. Nam ex eo quod  b = C, et (C0) b = l, et + C = M colligitur (d) C = M per calculum, ex hypothesi
Conclus. 2
Erquet ex eo quod ∞ c= d, et D C = m et M+d = n colligetur () d = n
ex natura seriri per conclusionem exconstructione
praecedentem
Est enim endem ratiocinatie quae in conclusione prima, tantum pro b. c. l. m substituendo c. d. m. n
Conclus. 3. Ac proinde idem habebit locum semper, ut sit Cd) e = p.
pe tul pro c. d. m. n substituendo similiter d. C. M. p, et ita porro ininfinitum
sefiecede esit relato saiter duts
seu si eadem sit relatio inter duos terminos proximos quos libet ejusdem serjei, et sit eadem relatio
et semel contingat ut sit eadem relatio inter terminum seriei, et respondentem summatricis, quae est
inter terminum proximum seriei, et proximum respondentem seriri summatricis, tunc idem semper
ucontinget, seu erit en relatio constans inter terminum seriei, et terminum respondentem Gercei
conclusit. Idem est si adetur eadem relatio l ad a. b quae in ad b. C. dico fore etiam eandem ipsius n ad C. d
summatricis.
et ita porro. Nam quia eadem relatio inter a. b quae inter b. C. Hinc si relatae lad ab quae m ad b. C
erit etiam relatio l’ad b quae m ad c et res rediis ad casum conclusionis praecedentis
et summatusis
duobus proximis seriei xertertae
Conclus. 5. Si atcunquei relatio imalis composita habentur
similis, erit e relatio constrcus inter terminum seriei, et respondentem serei summatricis verb. grat
ponamus dari relationem inter b. C. l. M eandem quae inter C. d. M. n. dico etiam fore eandem inter
d. P. n. p. imo dico fore eandem inter c. m et inter d n et inter F. p. Nam ex eo quod datur
eadem relatio inter b. c. l. m quae inter c. d. m. n. probari potest, sublatis X literis b, l, ex illa; et
Cym ex hac eandem srodituram illic relationem illic inter residuas cet m, quae hic inter residuas, et
Ergo par monctus. 4. et eadem erit relatio inter C et p. Et ita porro 
Hinc si demonstretur non prcedere eindem retationem, simplicem periei sum ducis ad propositam
nec dabitur der relatio composita, modo dicto. Nam composita semper rnduci ad simplicem
potest. sequitur ex praecedente conversione per contrapositionem
Si detur relatio constans inter seriem summatricem et propositam
In omni serie ubi datur  terminas ex suo nummo ordinali, seu ex eo numero per
bicimus quotus sit ille terminus, datur etiam relatio constans inter duos numeros proximos serie
Hoseversa quod ita demonstro. Sit Nymerus terminorum X, et terminus saliquis, ut b sit 
iune (ex hypothesi) Arminus proximus C erit ) X+I quarum duarum aequationum ose tollendo X ha
concl. 8. Si detur sries Terminus seriei ex suo numero ordinali, deturque terminus seriei summatricis
bebitur relatio inter b et C desiderata
ex respondente termino seriei propoositae, dubitur etiam terminus seriei summatricis ex suo
nuntro ordinalisaut si sit b= ex et l - c0) b fiet _ habebuntur duae aequationes
quarum oste tollendo b, habebitur relatio inter solas literas restantes  et . quae est
vonc. sidtetur Terminus seriei ex suo numero didinali, esr terminus seriri summaticis
desiderata, scilicet eot erit t= d)
u ex suo numero ordinali, dabitur etiam termini serieri summatricis ex respondente Tormino
seriei propositae seu ex b = C et t = x dabitur utique relatio inter b et 1
concl. C0. Hinc conversione per conta positionem conclusionis g.)  si non  possit haberi tenmmus
seriti summatiicis ex termino seriei propositae, impossibile etiam erit haberi relationem
iunc inter arminum seriei summatricis et numerum ordinattem
olilicoremata ejusmodi continupenda
2 Rngusti 1690
concl. 6
Coacls
concliZ