# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com # Page: https://leibnizlegible.com/page/00068195:0090 # Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068195:0090?run=74 # Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 2 # Folio 45v, page id 00068195:0090 # Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 44r); this page is its left half. # Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068195&page=90 # Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000090.jpg # Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 128 lines, status machine # Lines: 128 recognised, mean confidence 0.94 # Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German. # Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text. # Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote". # After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line. (74) Nece M est in applications Miebrae ad Numeros posse ex ipsis Terminis apparere nos tractaren terminas esse numeros, vel sallem esse Ratiores. Nam ratio numero addi adimique pt vel contra. Ratio- si gradus miner addatur vel subtrahatur majori, vel contra, vel ei sit aequalis, ut a - b = d Numeri sunt, (aut Rationes) quae tractantur. Item si in adimitur aut additur numerus. a A9b E in numeris rationalibus. a - Rgb = C jum a. et C. supponantur esse rationales, et non aliter enim opera tionem ingrediuntur. Et rationalis demto irrationali vel addito, vel ductus in rationalem, vel per cum divisus non possit facere rationalem. Ergo etiam Rqb est rationalis ac proinde b. est numeryst. Eodem modo efficies un solutio fiat in humeris inlegris, nam datos supporendo integros, quaesitas erges esse integrois si non admittes, nisi ea conditione in aequave addita ut n iego additisaut ab eo subtracti, aut cum dividentes faciant vel alium datum. vel aliquem factum ex duobus pluribus ne datis, aut ex ipso dato replicato vel ex data litera, et alqua numero cognito. Hac methodo effici potest, ut proble- ina datum, si possibile est, in integris solvatur. Eadem melhodo efficies ut problema solvatur in numeris paribus tantum aut in numeris fractis, aut in comer termanis aut in triangularibus Jam cognosci potest ex aequalionibus numtus vel ratio, sit minor unitate si scilicet potestas quaedam est minor rada vel potestate ejusdem radicis inferiore. adde G6) (74) Unitalis ope u ex aequatione una fieri possunt multae novae; et fortasse aliquando solvi problemata, vide 70. 71. ubi cum constet Z - = = 1. (3 Z= bZ ab) Hinc Sequitur ejus B. cubum etc. tum radicis tum unitali tum inter se esse= les (36) Ene novam notam numeri, et quidem integri Si qui exacte Terenin qua Quantitas Algebraica exacte dividi potest per aliquam quantitatem Algebraicam, aequivalentem unitati, ut Z (in Casu 975) Z + est Numerus et quidem integer, potesteum dividi exacte per Z- b. e = 1. et ea divisione producitur 3. Ila tali quantitate unitato aequivilente ossumta, et ea multiplitata per aliquem incognilum, sed qui suppontr in teger, et ut probetur 77 Methodus inveniendi omnes datae quantitatis divisores quae vulgo praescribi– tur imperfecta est, subentur quaeri liter n omnibus partibus extantes, et perhas dividi, divitores pariter et producti erunt divisores. sed quis duto a+ b + 2ab inviniet ejus di latus quantitus, incognitoram (7) Utilissimum quilem est si Numerys o. solvi queat in facto (00) Analysis Numerorum imperfectiissima est Veleret omnes Rationes sunt numeris homogeneae. sit omnis nem aut numerum esse necesse est hoc a 6de hac methio do ejus divisorem esse a + b. Et magis, ubi accedit quis divinabit a= b res, ex quibus aliquis non continet nisi cognitis invenere extractionem Radicum, seu factorum multipluantes ita enim depressi est aquatio latus cognitoram equales dalum numerum prodmentes. Nascalius addiat per tatum factorem dividendo. Sed tamen udles quoque sunt nonnunquam factores qui in aognitos cogtinent, si scilicet ab altero latere adhuc restent incogniti, seu potius si tocum alterum latus habeat eundem inagnitum facto coefficita confactorem, ita enim utiumque liberabitur velut communi mensura. Data sit aequatio: aet- abx + ax +X- 4b i 2ba - a stanfestum est, eam difficilem soluti, se difficile esse reperire quid sit aequale ipsi X. Separemus divers ipsius X. potestates, fiet : 26X = ba = a - ab x - aX Erga 2b a = 2bx = 2b a = ba + a27 abx+ a X Ergo 2ba - 2bX = ba + a + abx + a X. Ergo a - X = ba + a + abX + a X. Ita habemus aliquid ab uo latere esolibile in Tacores, nam a - X = a +X, a - x. Tentamque et in altero latere. Ajo alterum aequationis latus, itidem resolubile esse in factores, quorum aliquis sit idem qui in prioret. nam ba a abta. aequale est hicbectars ab f a a + x 2 Ergo A - x, a tx = ab f a a + x. Ergo aF a - x = ab + a seu x = a - ab+ a b seu x - 20a - ab + a seu X = ab + a2 Ergo et 26. calculi Sroblema ita concipi potest: Datae sint duae quanti tates (a. b) et quaeratur terlia (X) quae ita sit comparata, ut rectangulum solidum factum tribus quantiratibus in se invicem continue dactis, et aliud ex secnda prima quantitatis datae quadrato in quae situm ducto, et aliud ex secundae quantitatis duplo in quadratum quaesiti ducto, collecta in unam summam, aequentur rectangulo solido facto ex quadrato qu priae quantitatis et quantitate cois itt onidit telanum. verle acendum est an termini da paditer ac quaesiti vint a se indes cendentes, an necesse (79) Dato aliquo pr.blem que sit alterum altero esse majorem, aud minorem, aut aliquam ad euu habere habitudinem. Quod reperi. potest vel ex natura rei propositae, ut in Triangulo necesse est angregatum duorum laleium majus esse certio quo theo remale usi sumus in solutione probl. propos n. 7 vel ex ipsa aequatione, ut in aequatione proposita n. 79. necesse est b esse majus quam a.. Nam cum atere necesse est au fieri non potest cum in aclem bq = q2 sit in uno aequationi aequationis latere sint affirmativa, aut b esse majus segis quam in fractis numerum esse nihilo minus, quod quam a. semper enim lam in si quadratum est majus to, ettium erit Radim radice, et ita in caetris (etiam in fracts, ut si siut jum q est ph Radic 2. et 3 erunt F quam matia nam siauferas fret L. at 4 est minus qua deberet enim esse +.) Et ita po se dicendum at c sed hor laeo tamen d fortasse non magno utiue ad problematis divisorem esse a + b. item a - b. Haec ergo Jam de monst cuiantur Tabulis se theorematis solutionem lo imbrsdum alile est d unitacta, cuo si tect sit cor roempdrie jam demonstratis opus.