# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068196:0249
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068196:0249?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folio 126r, page id 00068196:0249
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 127v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=249
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000249.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
# Lines: 86 recognised, mean confidence 0.90
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Maji 2bq2
Cum datur Proprietas Tangentium lineae, quaeritur autem Linea
ostendi semper haberi posse lineam quae Lineae quaesitae occurrat in puncto
datae declivitatis. Et quidem si  dy: dex datur ex X: y linea occurrens
quaecunque est recta
Videamus ex his an non reperiri possit curva positione determinata lineam
quaesitam tangens, s, seu an recta invenir possit, ejusdem
cum puncti curva in occursus puncto declivitatis.
Ex gr. sit adx=, dx a rcassiat ese v a  a sdx.: X et Z a y.X
du= a dx. X et dz = aX d - a ydx, : XX. Ergo explicando 1 per 3, 4, 5. fiet
. Xdx: Xdy-ydx ~
S-gy. xx. quae est aequatio in qua seu dy: dx - y. X = 1: Si - gy. X
potio faciendo dy: dx h: a fiet h: a = y: X + 1: si-gy. xx itaque si hua assumt
pro arbitrio, verb. gr. = 3, patet aq. 9 esse ad rectam; curvae quaesitae occurrentem,
ubi declivitas ejus talis est,  ut anguli sinus ad sinum complementi, sit
aut og ad 1. vel generaliter ut h ad a. Si vero recta debeat curvae quaesitae
tangens, fiet h: a = y: X adeoque 1 X: (XX - yy = 0. Hoc cuodo ergo res
ponere contra in casu phaesenti est impossibilis et si per se rectae quaeratur. Retentis aequs 1 et2
faciamus a : X. Ergo dz. a= e g. .  Xdy -ydx,: xx. Unde 
explicando aequ. 1 per 3, 4,5 fiet n   y. x Xdy-yax
XAx :, C. y. X = X dy - ydx = s. - y. X. seu fiet dy: dx - y. x = C y. x =  V, - 9
Sed redit prior inconvenicnlia si scelimus facere lyide = y.x. Et video id
generaliter contingere, quotiescunque ut et tum demum res contingat succedit
Cum fieri potest de = 0. seu Xdy -ydx -0.
Ly: dZ = a: taa -  1+
Hinc si inibio fuisset
posito du=0 foret Taa -77 =0, seu a = Z. et ibi
habebitur reat a crvam angens, adeoque et curvae punctum.
ansfircuatum tad
Retlrba aequ. do. l = taa-72: a = h: a  fiet saa - Z2 = h, quae
est aequatio ad Etcl, rectam pramblatam axi paralletam, nam abest v.
nor malei
id est habetur   abscissa in qua declivitas curva hujus est data h:a-
8
adeoque habetur rordinata positine, indefinite scilicet producta; non
sed sumamus aequationem paulo implicatiorem, in qua x, Y detur,
magnitudine
cutur dy: dx, _X: a, y: a verb. XXdy + gydx = aadx. Sit
seu hXX + axy  a, quae est aequatio ad Hyperbolam, adeoque a
infinitae Hyperbolae ordinatim dantur curvae in datis declivitatibus
occurrentes. quoratur quaenam ex his Hyperbolis
insitam curvam tangat Nempe quado differentianto aeq. 2. fiet
2h Xdx + axdy + aydx = 0, et quia se tangunt hae curve, aequari potest
dy: ax unius aequationis cum dus: dx alterius; adeoque ex q 3 fiet:
2 ay: ax aequationis 3 erit _= h. a, et substimendo hunc valorem
ex aeq. 3 fiet 2bix +Ahx + day=0
itaque habetur ex aeg.5
linea (et quidem hoc loco recta) quae occurrit curva quaesitae, ubi ex
ab una hryperbolarum aequationis 2 tangitur. Non tamene ideo
dabur hia neque adeo dohuc datur ipsa in Specie Hyperbola, quoniam
in aequ. 2 datur h: a, x: a, y: a, quod si duo solum fuissent data, verb. gr.
A: a et X: a, vel h: a et X: y,  ut um (pd postem, quibus duabus
casibus linea aequationis 3 est recta, et quidem ipsa ordinatam faciers
in casu datae a: a ex x: a et tunc ea potest tangere curpam in aliquo
vertico, seu puncto reversionis; vel obliqua alia in casu b: a datae ex X: y
Sed cum linea aequationis 3 non est recta, ut ate hoc loco ubi est Hyperbola
non sufficiunt haec non habemus sufficientia data ad invenienam Hyperbolam
osone oidvatim occurrentes quosiar non est necesse ut in casu
illam quae curvam targere devet
contactus duae linea concurrant inter se, in ipso contactus puncto, ut ex
figura ascrrita
trat
igeu
et Ubi dupliata luca est quaesita, caeterae sunt ei occurrentes
quae dom curdam ups dpunctis sant donec ea dn 
quin etsi curvae concurrant conm concursus curvarum incidat in quae sitam
q
u
vel qualuor lncurianti sit ideti
loro Z = a g: X
potuissel sumi
Z- a ypo pe 1
et func
et
poneretur
dy: dx
non ide habere
absuriami
nct etiam
dx: dy = y: X
e in casu
speciali, e
tunc  recta
erit normalis
ad curvam
quim et effici