# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068196:0253
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068196:0253?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folio 128r, page id 00068196:0253
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 129v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=253
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000253.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
# Lines: 53 recognised, mean confidence 0.96
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Inveni ex data proprietate Tangentium curvae quaesitae
quaesitae
haberi lineam positione datam, curvae Cibi occurrentem, ubi datam
habet declivitatem, seu ubi tangens ejus datum facit angulum ad
axem. Nam datur dy: dx, c  est ratio interceptae in axe
inter tangentem et ordinatam ad tangentem, adeoque angulus tangentis
ad axem a. Jam dabur dy: dx ex x: a, y:a. itaque posito
dy: dx esse datam seu = h: a datur h: a ex p. a et y: a. Adeoque
csdeata si h.a sit ratio data vel numerus datus ut 3, dabintur
x:a e et y: a ex se invicem  ope aequationis
secandum quam habebur h: a seu 3, ex X: a et yia. IaEaq
aequatio erit localis ad  lineam quandam habentem abscissem
quidem X sidinatam vero y. Quae occurret lineae quaesitae in illo
puncto, ubi angulus tangentis curvae ad axem seu declivitalis
eu angulus declivitatis curvo est dabus. tscidicet ubi scil. sinus rectas
est adut h ad a seu . (si placet) ut 3 ad I
lement
efinum
Porro ha clen ho lineo positione dataecurvae in data
declivitate ordinatim occurrentes  si concurrant
in ipsa curva, seu si curvam tangant; inventa est curva quaesita
et publema est deberminatum. Sed plerumque problemata haec tangen
tium inversa non sunt prorsus determinata, sed infinitae curvae
satisfacere possunt; hac tamen lege, ut uno puncto assumto
eo ipso detur curva. malumque est, quod rem solutionem difficilem
faciens, quod non potest haberi determinans aliquod analyticum, seu intelligibile
sed determinans est materiale potius seu avotor, quub est mensura
et pes passus; quae nullam habent notionem.
Quandocunque in aequatione differentiali problematis tangentrum
inversi abest, cops  parameter, seu recta
constans homogenea ipsis X et y adeoque ut X et y per se sola
servent leges homogeneorum, dunc lineae i positione datae curvam
in datis declivitatibus opdinabim secantes sunl re rectae. 
Nam datur dy: dx seu A: a ex X: y. Ergo si h: a sit data
ratio, dabitur et rattio X: y seu ratio X ad y; quo posito  als
Hnc porro quandocunque  problema langentium iuversum
locus est ad rectam.
reductum est ad quadraburam, eo ipso reduri potest eo ut
detur ax: du per x:y seu ut absit constans a. Quod sic ostendo
habeatur
Quando problema est quadratorium. bunc eo reducitur, ut queratur
du: d7. ex  Z: a. jam fiat  8.  D: a = X: y et v: a = (dx: v
fiet  dz: a =  yax - Xdy: yy et dv: a = dx: X. Ergo ad fiet
dz: do = X. ydx-xdy: yyd Et proinde dabur X. ydx- xdy: yydx ex X: y seu
quod eodem redit datur dy: dx ex X: y
dicam
Et ut obiter
datur dx: ex dX: y multiplicato per quantitatem datam ex X:y
Hinc igitur consequitur quandocunque problema reductum est
cad quadraturam,  haberi lineus ordinatim positione
ecta
datam curvam aliquam quaesitam in datis declivitatibus
fecantes