# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068196:0507
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068196:0507?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folio 256r, page id 00068196:0507
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=507
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000507.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 130 lines, status machine
# Lines: 130 recognised, mean confidence 0.81
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

facore possimus
Quaeritur Sdx texx-mm, Xxtnn), quadratura rationali. Si faciamus xx - um = 90D, et XX - nn = D QZ potemt
radix extrahi ex tCxx = rum, XX -nu) = C DE. si facias X = . ssH +.. Vl6 +.. 12.6+.. 8, ita ut H, 2, 8, E sint ratio rationales integri
Simplices, et D faciamus  +. 1h4 +.. th6 +. 126+ F, et O = ust +.. 12 +. 16,. et smiliter  =. 1E +. +2 +. 16, poterit comparari
 posse sed calculus comparabionus fit paulo prolixior
unc exemm. cum OOD, et xx- no cum DEG similis formae erunt, adeoque videntur Di
itaque brevius rem detegi posse visum est, si divisores coincidentiandorum coincidentientur; jam xx-mm, habet divisores Xtm, et X n. inc
si non amplius resolvituus in alios dibisores, opsrtibit D coimidentiari uni, ut x+m, et aterum X -m scoincidentiari ipsi 00 quadrato. Sed pari
jure D t quia D 9 coincidentiari debet ipsi xX-un; debebit et cujus divisores sunt X + n, et X -n, debebat houm alterutri coincidentiari, selut
Consideremus ergo
ipsi Xtn, ergo X+m, et X+n vel tale quid aequarentur vel saltem essent in ratione constante qu quod non licet.
X p valorem ipsuis _ assignatum posse iterum consiterari ut resolubilem in duos factores ipsis O et Q similes consipiles, et D similiter
Posumms etiam ut X+m, X X + A, X- _, qu sint resolubiles quilibet in duos factores, qual,s se et Z, quorum quilibet sim consimilis ipsi C vel 8.
putavi etiam tentandum, an non ubique suficiant binae irrationales, ita ut adhibeatur solum.. It . 16 omiso 3to. 1G. ita mullo facilior reddetur Calculus
(∞C18: 3= 0B 37 = D = 1h 7 = B = 4
Fatasse etiam sufficiet, si X+m et X- m servemus non resolutas, tantumque coincidentiemus D et XAm, itemque Xta ipsi 00, ut deinde. D coincidentiemus
13
Cum producto ex duobus divisoribus diviore ipsus X+n, et ipsis X -n, et reliquos duos divisores ipsius Xtn, et ipsius Xn, aequemus inter se, vel saltem faciatum
Se2, B
ratiorem habere consantem. sit primum X =  8 + b AtiS, delet Xtm, aibriqua seu 8 +m + bd6. aequariquadruto ab O seu ab 5 Y + 916,B
iseu ipsi Sfft 106 tisg Yh6 et fit E= (ssGtggS - m et b = sg. Et jem X- m. 5, 8 m +b E6 = D, nel 4 19
jam XAN, et X  debemus et X -n, debent habere divisorem communem, erit n n _ pst iqo, rtErsS et x n - pt qu
setiifiel. xin = c(G+ d 1S, PsEtqS et X-n = c G+ d YS, Y+ SYS. et fian+B + bYS cG+ d98 + (Cq+ dp) it6 sit
 cot +dn6 -n et b= C9 +dp et eodem modo -n+ Z +bYGS ~ coh+ ert + d56 + (es. + dr) S6 efet  rursus 
26) ert + d56 +n et b = c5+dr. superest ut ptZ+ qY8 rG+56 coinci producat coincidentiandum ipsi D. fiet utique:
pr h +956 + (p5 + qu) 1H6 ~ CQ- em + Bb 156. adeoque =  prh + 958 + m et b  Eps + + qY. prodeunt octo
aquationes. Ex quibus primum adhibe eas tractabiuus, in quibus absunt variantes, nempe Edam, quartam, sextam et octavam. Et poum
 valorem ipsi b grimum et quaetim aequando fiel 2(t(sg p5+ gr item quartum et sextum aequandor fiet siomo) cqrd std
Aequando valorem ipsius b primum et secundum fit son 2B5g = cq+ dp aquando vabrem secundum et qu 3tiam fit (10mo ). cq+. dp = c5. + dr.
see
sequando denique valorem htium et quartum ipsius b, filsem BC5 + Bdr = ps+ gr pem Idmam et umam quae ramus d et e, et quidem ex 10ma
fit (2mo) fit d = c(. 9 C,  4.,  Y C, 9. 5, :, Y- P et ex smasit (12tio) d = P5 + gr = BsC, : βY. duosque ipsius d valores aequando, fiet utique
141) BY, C, 4 - 5 = p5 + gr - BSC, r- p seu Bcr9 BerD per + qr (pers pps pi + (p 5 adeoque  nto
(15t0) fit C = PS + qur pps, : erq- βBC; aliter ex  het BC = P5+ qV, Y. p, :, r(4. 5) + 5(r p). Et quia eodem modo se debet
habere d, pro cum 9permutando p. cum spermutando Y, fiet d =   qr+ p5, 5-9, 1,5 (p. 1) + Y(9), seu fiet
βC == p5 + gr, r - p, :, re(= r5 +r5) - p5 seu (16M2o) BC = (5 +gr, :, p5- gr), P- Y et (7mo) Bd 5+ 9t:, p5. qu),  9-5
Ita aeg9. 2, 9, 16, 17 satis faciunt quatuor valoribus ipsiis b, seu agg. 4, 4, 6, 8. Proderit tamen explicare aequationem q
reefg = ecq + 3dp, adeoque 2BBfg = (P5+qr, :, p5. qr), p9. qr+ pq ps quae
aequatio est loco aequationisq. itaque. aqq. 2, 16, 17, 18 satis faciunt aequationibus 2, 4, 6, 8
Eodem modo tractandi  jam sunt quatuer valores ipsius Z, ex aeq4ue 1, 3,5, 7. Et quidem ex 1 +3 fiet
Rursus ex 3 et 5 a3
per inventos valores ipsarum c et D, fiet ex x9. 9,
(55t + (996 - m = (19) = eptr + d96 - n, unde 8 = (Z ((5 - ep) t -mta, :, d9 - β9g.
fit ept. +d96 -n = erque + d58 +n et firt 6 = b2) = csp. 1)- 2n, :, d (s-4). Tadem ex 5 et 7 fit ert + d56 +n=
ser qs)  BprE + 3 958 + m. ndefiet 8 724 r (x (BC-p) +n-(M,: e S(9u Bd)
6
Ex 20 et 22 fiient aeg9. duae BH - cp, d, 5-9 = CCp - Y) (d9 - 309) et -m + n, d, 5-9
2n (d9 - 399)
nempe divellendo aequationem factam es dupbus valoribus ipsius D, ne habeatur  valor ipsins E per constantes.. Et similiter ex 22 et 24
fieut duae aequationes, nempe . C (p -Y) 5 (9 3d) = BC p) d (s-4) pt = 21, S (q- ed)  β (n -m) d (5- )
Ex ag. 26 quaeratur gu et valore substituto in ceg. 25, habebitur H, et utroque valore substituto in aeq. 18 fiet nova aequatio, et qua
inventi. Neq. 16, et 17, similiter in aegg. 27 et 28, et habebitur quatres aequationes supererunt reso loendae per p, 4, 75, 
co Xm Xm (alculs fuisset magis umgormie si XX- mm, tractasimus, ut Xx - nn. Nempe si redeundo ad XAm, Y M, Xt n,
tollendi valores d et
Xt, xam fecitemus N.  C
TI 31
5+ bYG6. debet Y + m + bsto productum esse ex B c + 3d1S et fsG +91S, seu loinci
, Y h=G
22 = = 11.
inde siet
fiet
β0
et ZCG+dta tZ+ KY6 et sint satiseu coincidentiari ipsi chtt dt 6 +  (cK + d h) SE5, et fiet
(3ho)  = chtr + DK6 a-m  et 4(4t0). b = ∞ (cK + d h)
fiet (1mo) = βcth + (d95 M. et (2do)
Similibr debet X+n seu Dn + b AtC productum esse ex V+ V4+o et fG+9V8, seu coincidentiari ipsi
hoq +K1S, seu coincidentiari ipsi
rPs +) 49 L Y (P9Y95) fiet (5to) 8 = ) psfl 1 49- n et (61u) b=) 19+ gt
ph  + qu = y (pK + gt) Yh8, et fiet (2 mo) Q =  ph + qK5 -co n (8Vo) b - y CpK + qr
Denique debot X + Co seu B+ c + b1t6 productum esse Ex Z BrGL qua et
1
0)
1:)
item S f, 
 (9uo)) β(3 (c9+ df) = CK + dh, ex aequ 1 et 3 fit (uma) 
B3cfh+ β(96 = B((- m)
en
duo
CXaequ. 6ct 8 fit( 12m6) YY C(9+95) = pK + gh - Et ex aequ. 5 et 7 fi  y) pt L L. V4 8 = y (n - cd), seu fier
Ubi respondent sibi
et se habent eotem d
R. k
seu siet  (B(f = h) CZ - 3 (l - m),: (K - BBg
Ex aq 2 et 4 fit
esse
b = (c9 + Bdf. Rursus XM, seu E+ m + b S56, ladebet productum esse
dentiari ipsi Bcf+ βd96 + (βC9+ Bdf) to fiet 
sit jam at ante X =
O. RC
His octo aequationibus praestitis haberetur, quaesitum
18, C, d. 1.
P, 9.
b ex aequs 2 et 4, cum aliquae valore ipsius b ex cegue 6 et 8. item
phitrgu
aliquem valorem ipsius  ex aecique 1 et 3 cum aliquid valore ipsius  ex aeqq. Set 7. Conjungendo ergo Z et 6, fit (14ta) BBcgt βd)
(13ti0) S = VyS Mypt- V (n co),: (K. VV9)
pat.
Yat. Et conjungendo 1et 5, fit (c fG+ Bd95 - l = )ps+) 496 - n seu ((5to) (β3C. Vp) St -(+ M:, V4- Bd) 9 = 6
superest at comparemus conjungamus alter aliquem valorem ipsim
Nunc aequatio tamq quam 12 conjungatus cum ag. 14; item valor irsus  ex coqu. tam 10 quam 3cam Valorreius ex aeq. 15
()7 md) d VCu 495) 69676.
aav. 14.
runus dunt valoris coguanda sil() et ex 12 fit (17 mo), 9 = (V) 9 -K) p: Ch- vpfi. quos duos valores substituendue in
Quod prinsattinet, ex aeg. 9 fit (16m) fit d = (3β9 - K) C, 2, h-BF ex aq.  fit 
Hic bgric si faciamus )= B = B, plurimum contaetur culculus, et ex 14 firt Bg  Bcgh  B3c95 + D c9f bs
qud
C= p, vel 9h = K
qod etiam nollem. Unde prst oporte
unde fit ve
B+W)hs +BBVVfF. ita ex aequ. 14 prodibus
les
Opghe B3 pos +BgP BSKP, seu  () C: p = gh - KF, =, 9h - K
duut proporte
5)= YegCnh- (BC+YI)hf L BBVHF) + )oK t- BC5
fit etiam d=g quod nollem, si posterius eligimus, C) ut
ex nominatoribus valorum d et q invicom ductis
etekh
Si pris eliqem
Conevari riscrimen inter β et sietq
Feks =Iegal-o epus is e se t
vrst +sKBBS
vlco t  cstin+ BB Essk = V pgla - V C oguIpstik +y BB  u (B. p)- ex  Cc B0). sn . Ye e t  
gt 
nde hebeliu pie
begea (CnF 2H
siu evglyendo Begin  C9 Big (B(BF CBCDABECBB9)YH
A loco
Xtn, X-V
ponamus
X+n, xtcu