# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068196:0714
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068196:0714?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folio 359v, page id 00068196:0714
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 360r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=714
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000714.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 108 lines, status machine
# Lines: 108 recognised, mean confidence 0.88
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

clariter
si recta quaedam Cujus vma puncta jacent in eodem plano, sed ita ut et resta quo
in eodem semper plano cum curva maneat, aream qonae prrducta, ex data curve
area invenire. Poblema satis difficile
prp I quotrescumque in figura quadam contingit, ut quocumqe assmmto curva puncto E. easem eadem
semper rto
Noa perpendicalenis BK=
Notandum est cum duos inverierim modos.
Ex prop. 4. et 5.  habemus duas methodos Universales: euicunque superficiei currae ex rerolutione genitae exhibere
planam aequalem. Et nunc utilius est tangentes ad bacris, nunc perpendiculares ad rectam extribere, prout scilicet
figura quae oritur simplicior aut tractabilior est apparet autem figuras esse illas quanquam hetergeneas esse
dectaeurva  Planae aequalis superficies curva, invectigando, scilicet locum ejusmodi   applaatarum ad altitudine adnecta recto quadam, summaret perpendicu. D)
inter se aequales. Hinc euilibet opinor figune tari potest heterogenea aequalis. Et vicissum ut arbitroc cuilibet
trantformatarum in langentes pependiculares, et applicalaruu ad altitudm basium transformandarum in tangendes.
dicissim cum infiniti assmi possintaxes circa quos qualiet curva data vi intelligatur non est dubetandum
quin an una qualibet curea in occurrere possint et fortasse complures in superfis, in circulds commud dabiti 
sut cuva ad agi potest circa axem ad. et de quo bc. et ad, et cd. imo
et ac. et ec, et afeaisi os sint, ita, ut circa num ut ab descrifiatur, supersia est
curva ocava, circa olterums superfiries curva convexa; monenta sibi mutur complemento esse ad
Nota antem lsi duo apes es
Superficiem. curvam cylindricam cejus basis curva altitudo, ipsa distantia parallelohum axium
et N.
10+-40
195 = 50
Cujus rei hae demonstratio est. Quoniam enim cujuslibet exigni arcus mor infinite
i momentum ex ab consiait ex recta ju est ipsa recta sen distantia
ab axe librationis, in arcum cujus momentum quaeritur, ducta, vel quod idem est,
1025 44. 900
105255 - 1250
punctum i sumatur semper gi + ih = ac. Ergo summa omnium gi  h erit
summa omnium aC, seu seu summa utriusque momenti ejusdem arcus tam ex recta
ab quam ex opposida ec. erit superficie colindrica summa omnium aC, arcui
iidem impositorum, seu superficies cylindrica cujus basis curva ac. altitudo lec t.a 
Hinc sequitur dato momento curvae ex recta ab. et data recta cuvae aequali
Ergo 25- 16 - 4
Ergo 2eb - 16b = X
abn 6 Eujo
haberi etiam a recta  ec. item patet si summa momentorum ex ab
et ex ec. habeatur, habilum iri, quicunque alii axes assumantur, seuper enim
erunt istae summa, ut axes abuadaxem Ideo si quando haberi possit immuiveras figuros helerosenen
aquales hacmethodo rursus habebimus. Hinc etiam methodi innumerae investigandi quantitatem
ipsus curvae sive e possunt infinita exhiberi spatia aquorum quad ratura curvae ipsius extensia
Nec proiide desperandum Ex infinitis methodis occurrere posse unam plure e
in una quaque curva, quibus incidatur inspatium quadrabile, quo proinde rectae aequalir carva exhibeatu
abscndentium et perpendiculari ad tangentem. Idem nulla facta curvae mentione lemdu
pulcherrimo sic enuntrabitur: si duae rectae (m _ ex el) se serent ad angulos rectos, et
una quaeque earum cadere intelligatur inter duas parallelas, (an inter parallelas ex, ed
inter paralletas, ec 2ab) sintque parclle l ia perpendicularet ad paralle ca alterius
optendendum est Ea MN = KL 0 Ergo E est endendum quod EN quod fiet si ostendemus EA. HL
hoc autem ostensum erit si put Id aro ica ostendo vla
 et 2t similia
rectansuta, et praeter angulum rectum habeant alium quoque aequalem. Nam qea siul Dto qMN.
A qn sinile et hoc Vlo cotacum sint E rectandula, et habeant GX( et hoc Vlo K
nimomnia rectane
ea entl
praeter rectum habentia communem. Egitur angulus RLk Rnguli
nam a X46 = atloXLR. Ergo adgilus SZB
um angulus LKX idem nngulo vli orthogonii Rrit
iguli BkL. trianguli RectangalisXR.
angulo qKe ili orthosonii X eq, ut hijus t
i M. quia haec duo Tla rectangula
entus ge idem angulus gHe aequalis angulo MN Gi
tangula INZ. NIG. et XE9. habentia unum angulum non rectum communem, K4C, habebunt alterum
ae et inX inq aequalem. Ergo 1Ng( MAZ) 1NG vel MNG = qKe vel LF, LKR.
in duobus triangulis orthogoniis Mq N KRL duo anguli non recti L K R et A MNQ aequal
niangula ergo similia sunt ideo ut est XL. ad MN, ita RL - Ea ad mg = PO. ergo EA = HL.
vinde EA MN = KL PO. quod erat demonstrandum.
Est et alterum Meo retua longe et f.
lius demonstratu. nempe clangentem mn productam dum duabus parallelis aC. bc occurrat
in mn. quod si intervallur po sit infinite paroum
alelarim
in erit portio arcus infinite parva. ducta enim sU, patet
Ila sta sut et mng. esse similia. Hinc intervalla panllelorum porio congentus noter pazallitus in
AT. Ergo sn MSWMN. ut habuim. Item s+ eNZ = ITMN. ite su eNque Ergo 1N. BT.
omnia 1B7 in arcum quadrari possunt videndumqe quodnaim id sit figmae genus
Et =  Eyo XL NG= KR Mp. perpendica lavem basim XB. in hreui. Iteu _ L M 2 CA H. habumm
tamen parabolverdes
eAte Nq distantia
non sunt, com
asm altituomem = XR in basin. Hoc ergo Cursa qua
ntratiles, quae
q tostire etos srpr
cabus tuadrabiles. luso netu ax pontet  a lucimen dita eyntae alios quadraedem
quod aliter quoque ac simplicius sic demonstratur: Esto tumgens carora m perpendiasari pter ad srcifcantali, dare duo curoas
tram axtum ea aequatur rectangulo sub dictantia perpendiculare langentis partem.
ductr rectar i
LX _ 
tangentem per in ipso contactus puncto, inter duosaxes hargllulos alacta Al. Ancta perpendiculam. NIl nit diversas in rectu qua
per punctum edatumeut s cad
puta sub recta na etdistantiae parallelaum calterus cerunt aequalia inter se
CRL po Mp
cusunt
 paralletos ab, ec interceset, eb  ducta in olistam sratio quadrabili
producta utcunque Mparseeius ncdesu in duas perpendicilares ad axem utrumque
decassatim
Enx n
denique
Hinc illud quoque apparet summam ommum perpendicularium Xl. ad altitudinem, aequari omnibus hu inccurvam Patr si s. dici sit. Data qualibs
axemal
duos axes ab et ec intercepta, etax punctis tel ductus paraltelis et aequalibus ipsi ea nempe ema et Cha. unam
langente yn
pro ducta
n 
105 57 - 450 (20
ei perpendiculariter imposita; et vicissim momentum arcus i, ex axe librationis
est et est aecta ih. arcui imposse sitam impositaa mpositom
103- 30
abg