# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068196:0895
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068196:0895?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folio 450r, page id 00068196:0895
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=895
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000895.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 90 lines, status machine
# Lines: 90 recognised, mean confidence 0.90
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Graducra
speciales et
tiliueam orthogoniam
trilinea orthogonia
ori ad angulos rectos insisteni
ABD, eoque ductu fiet solidum. Huju solidi sectio facta per planum rectum ad utrumque
planum generans erit rectangulum ex duabus ordinatis figurarum generantium respo
dentibus seu abscissam communem AB habentibus, nempe DB et BC; at ejusdem eu
t plano ad planum aliquod generans at ABD Tut ad planum ABd, et quod
alteri plano generanti ABC insistente in recta (CE, sectio volicli quod qus sigure ABCA
occurrit in (C) et alteri ordinatae ejus ((C) in E, tunc sectio solidi erit portio plani
cABd (cui parallelum est se aus) comprehensa inter duas ordinatas figurae ejus plani ABDA
Eodem modo si planum secans sit paralletum alteri generantium nempe ABC et ipsi ABd
nempe inter DB et (D) BB) ordinatis BC et (B) (C) respondentes.
oceurrat insistat in recta D)F, sectio salidi erit occurrente ipsi Bd in F, sectio solidi erit portio
Interpolatiores Hinc si AB metur X, et BC y, et BD, v. patet aream totius solidi componi
atsigarae CB(B C) C, portio figurae ABCA.
posse tribus modis, ex aggregato sectionum inter se parallelarum, nempe ex omnibus.
rectangulis ut (C) insistentibus rectae B Ain ex omnibus portionibus unius fgurae generantis,
neme ABd portionibus DB (B) (0) D insistentibussi BC in E, denique ex omnibus alterius
figurae generantis  portionibus  CBD) (C) C insistentibus rectae Bd in F
Hinc ve ad per calculum breviter expressa, si AB vocetur X, et BCy et BdY
siet Sy ax aequ. ssvdus aequ. yax si integri scilicet solidi
quaeratur dimensio. Si vero incipiendo scilicet ab X infinite parvo
Si vero p  egae non integra trilinea in se invicem ducantur,
Sed eorum partes tantum exempli gratia portio DB(B) (D) Din portionem CB()
tunc factu solidum producetur, an (prioris pars) cujus sectio utrique plano generanti
recta erit ut ante rectangulum B) in B(C) ; at sectio parallela portioni DB
plano ABd et recta plano ABC, si quidem secet inter L et C ut in (C) erit similis et aequalis
alicus ipsi portioni DB() (d) d  quae semper alia atque alia est variante recta D) (B) prout punctum
C propius ipsi L vel ipsi C assumitur; si vero se planum secet inter L et H sectio semper erit
similis et aequalis ipsi portioni generanti integrae DBHGD  et eodem modo si Manum secans
sit parallelum plano ABC Et rectum plano ABd, tunc si sectio fiat inter G, et D ut incD)
erit ista sectio similis e aequalis alicri portioni CB(B) (C)C.
si vero planum secet inter G et H
erit ectio parallela semper similis aequalis ipsi portioni generanti integrae CBH L(C)
Itaque re ad calculum reducta fiet: 
Syvax aequ. (suaxdus + Svax y aqu (yde dv + sya V
Posito omnes X, y, v, intelligi ab AB, BC, BD, utque ad AH, HL, HG; et  per y et _ simpliciter
d
ecrekendo
positam intelligi ultimam H+, vel HG. Quodsi crescentibus v deciescaut y vel contra,
Sed veritatem calculo nostro differentiali comprobemus: nempe diferentias pro
uminis substituendo, fiet: YVdxaeque Svax dy +ypdx - Svdx dynqu. sy axant yvax -sy a do
et mutantur signa.
tantum causa quaerenda est, cur  ipsis du et de signum - praefigi debuerit. Credo
quod etiam
omam autem in casu totius cilinei ultinus
y vel ultimum v est aequ. 0. hine evaneslunt, sudu y et sy de V adeoque manet
Servire potest ad calculum variandum.
(yo ax aequ Ssraxsus aequ. Ssydx do ut supra
Caeterum ex his puto demonstrari posse theoremata illa interpolationum
hactenus a nemine demonstrata, quae Wallisius dedit per inductionem.
sit enim reeq y aequ  et v aequ.   c posito esse 
autio te
( _C du aequ.  esdu dx aequ. hs SXeda. A Co a
Ainc si e vel h, vel alterutum vel ambo sint numeri fracti, adeoque y vel 0 quantitates it rationaliter
entum simpliciora quaedam
adex it
itaque fiet:
expressa plurima alioqui non obria dedeguntur idi vero esse fractum nempe ee
annotando, si faciamus e esse  numerum integium,
arc  per binarium, nempe L, hoc est 2, Z, 2, 2 8c patet fore
(XHco aqu. B P jn sc a 2 X c E Z) Snco aq L sectaq 2. 2 X Jh 2) SX C. sc0  1 5C  9 3 X E reius
inde poni potest e aequ2, et rursus h vel L vel Z vel Z, ec. Similiter e aequ 3, et rursus haequi, , 3
vel Z vel 2 ec. et singula rursus duci per h. sumlum pro ? vel  vel Zec
et ita omnes casus habebuntur ubi radix quadratica tantum x occurrit. in quibus comprehendentu
omnes inductiones Wallisianae, aliaque innumera, Utile autem est ees
denique Deinde sumi potest C aego 
primum casus adhiberi ubi C vel, h valet 1, ita enim in iis ube est C-1, vel h- 1 X vel co evprescit
et altera earum sola  restat, adeoque prodit paraboloeides, quae cum aliunde detur, hinc lineae
Simplicium aequationum revacari curvae hujus modi, in quibus X et potentia isses vel a potentiae
vel radices ipsarum X et a - x in se invicem ducuntur, haberi possunt per parabolocides seu cuvas
simplices quando id fieri potest. Sin minus revocari poterunt saltem ad simplicissimam tatium nempe
Eodem modo res praestari poterit, etiam si inse
invicem ducas Xx et atx, ubi vel ad paraboloedes vel ad Hyperbolam ns reducetur. Aer
seu ad
2sa - = X
50 Neminus
ad circuli quadraturam
vallispana
(Xoqu 2
de quo alias
accuraticis.
onsi
00E y
( aux
ex
a- x aeq: a
dipon