# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068197:0075
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068197:0075?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 2a
# Folio 38r, page id 00068197:0075
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068197&page=75
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068197/jpgs/default/00000075.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 96 lines, status machine
# Lines: 96 recognised, mean confidence 0.78
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

XX - bb in XX = CC = quadrato sit X = aZ0 p, fiet aa Z7 + bb pp, in aa q. F Cp p. qedrata
 Et resolvendo in radies ent az+ pb; aZ - pb, in aZ + pC in az- pe = quadrato yy
Hic pono _Z et p esse primos inter se, seu incondeprimibiles, et ex his quatuor A, B, C, d
binos non esse aequales inter se, nam alioqui fieret Z. p seu X: a constans. Videamus
an binae possint habere communem divisorem sit aez + pb = Rg et an- pb = qs, fiet
4= aZ+ bp, . Y = aZ- epis seu aZ5 F bpc = a ZY - bpY fiet aq (F p) = bp (r+ 5)
in quo niti nuctum video inconveniens seo ita etiam rts et r- 5 habebunt communem
videamus an pinae et possint habere communem drvisorem, verbi gratia A et B,
 fei a2+ bp = qr et aZ = b p = 95 fiet aZ = qr - bp = 45 + bp Ergo p habet
divisorem a. Rurs Ergo etiam Z habet divijorem g, A et sed ita Z et p non erunt
bini,
(Scilicet, va rabilem)
primi inter se. Itaque Y A, B C, d communem divisorem habere non possunt
su sed bini quicurque sunt primi inter se, in variabilibus scilicet
Hinc si producunt quadratum necesse est ut quilibet eorum sit quadratus,  nempe in
ipsis variabilibus, nihe seu al. sit in ratione constante ad quadratum.
Si  sit saloris simplicis, Z et P sumo gradus ejusdem, quia  assumere aequal
aequalea ipsi Z, nihil non auget calculum, et tamer suppeditat angilium,  si
ae quari qu
s Z et p A non possunt esse simplices, ita enim non pess
non potest danc grairatum ex hibere quadratum seu non potest esse in ratione constanti ad quadvu
itaque attollamus Z etes id gradum secundum. Eritus  A=  B- 20gg C= zohh D.  si
1010
aZ = 1010 ff = bp = 20204) + bp, sit 2bp = 1010 ff = 20. 10 99  = 10f + 209, 10f - 20g = 2bp
bp = 10. 10H = a Z = d7 = 20. 2099 fit 247 = 10 10f + 20 2099 = 10f + 209 (.1, 10f- 209 1 -1 = 2a72
as. 30 + +0, 30s, - 401 = 2cp
c et d simuliter fict 10, 20, 30, 40, reperiuntur in calealo vantiles  30h. +qu g.1, 30 - 409 .1 = 2aZ
.
Ex binis valorbus ipsius 2aZ pie sit 10f + 20gf -1, 10f - 2091- 1 = 30  +409 1-1, 30f - 40Y - 1
Fidt 10f + 20g +- 1 q =  m hh + i 1 - 1 et 10f - 209 -1 = a 3oh +. 40 i f. 1
Rursus ex hinis valoribus ipsius 2p, fit  1, 1ef. +209, 10f - 20g = 3oh + 40i, 30h -401 E
a L 3oh (+) 40i
ep harum quatuor aequationum, tollendo 1 et h, habetimus bitq binais aequationes,
Sit 10f +209 = b, 3oh (+) 40i et 10f - 20g =
in quarum utraque sunt solum g t f et g, sed ne inde oriatur f: g aequalis constanti,
aie f +2og+-1 - 3oh =  -10an f + 20 m gL- 1 + 3ch, sit 2. Joh = (2 + 2) As. B. - pat 19
in utraque oportet ut f et y faciamus evanescere
44ol. 1 1 = En C Qxagut est + 16f 4 209
or
Ex aequ. 142 
st
c
Joh = = 10f + 204
m
A
e
2 7F - E) )1) t
ab
Ergo fe ut destruantur f et g, fit a + n = 2 +  et a = m = L - =, - 1
Ut ergodestunita fa ge udpduobus valoribus ipsius 2. 30h fit ( n
a
Ex cy3et 4 (4401 = 410f +  20d e dustusa
= E - m = m - G  - 1 fit 2m = -1, (1 +d 1) = seu 2lm = - 1, (1 H.1) ac
a
in
quarto
sed ut hactenius quaesaoduns binos valores ipsius h ex vabori ipsius i, primo et sccundo, item otio et quato
sed pursus alios binos valores quaeramus ipsius h, ex primo et tert
a
quaeramas adhuc alios binosvalores ipsins t ex ipsius 1 intoribus nimo et tertio, item secundo et quarto
in
-
a
fit
Ex pritio et terto sit (tro I. = p -10 f( 209. 30h = + a 105 s. 1-
a
et fiet 3 (= 1- 1 (4) 1) 3oh = X (+ a fat 1- 1 (+) 7) 105 + (
a 2og  30h. -1 -
4) G.) 209
Ex tertio et quarto fil 40i L C  = ) Eu ) () G 2og (7) 3oh = = s. 1 m 10s.  4 cem 20g = 30h .1
r
f. 1 (4 (1) 3oh Cs = (() f vat H) (- )) E f s. 1 n dios (BE + 1 ) 20g
Hnnc ute tollatua  Hint ut indef identificentur duo novi valores ipsius 30 h
et liet
fiet ob f fiet L a f-1 (4
)c. +. -1 m ob 4 fit 4 in (4)
= (4)7 +n
substitudo valore in E duabus aequationibus bis habebum
LD sus
 G a L
nisi casu contingat ut duo ipsiuslvalores consentant m = - 1 (i+ f. 1  et (it
et
invenimus antetu jam n ve
Hinc
+1-  2l.
(1+V - D (
B ca
 Casu
b
=17 6 (4
=(+) F- + f-1 (1+ S.1)E et + - C +L. 1) G+ Sr
IaL
t
Ex
ex taB
E F