# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068200:0067
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068200:0067?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 3 (shelfmark LH 13, 3)
# Folio 33r, page id 00068200:0067
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 34v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068200&page=67
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068200/jpgs/default/00000067.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 108 lines, status machine
# Lines: 108 recognised, mean confidence 0.88
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

pi 1680
Paulatim aditum reperio in intima numerorum arcana.  Constat fractio
nes quaslibet exprimi posse per seriem infinitam integrorum certae progressionis, exempli
gratia decimalis, aut etiam duodenariae, vel quam ego omnibus praefero dyadicae: Et seriem
illam semper esse periodicam sive post aliquot intervallum priores notas recurrere
in infinitum. Exempli gratia secundum progressionem dyadicam 9 est aequ. 1001. et
et progressioniba
 (eu 1001 est aequ. 000010OVM00OM etC. Idemque contingit in aliis numeris omnibu
0c
cujus rei ratio est, quod continuata divisione appositis in infinitum cyptrris in numeratore
et nominatore, continuataque divisione, residuum semper est minus divisore, ergo cumque
finitus sit residuorum numerus, necesse est aliquando recurrere aliquod residuum ex primis
iit quae jam affuere. Recurrente autem residuo priore, cum nil nisi cyphiae
sequantur recurret dividendus prior partialis, adeoque recurret et quotiens prior par
jum quia 000,
tialis, quae adeo erit periodus.
1001
uqu
00vmovoin ete. Ergo
1000000000000 etC
multipl.
inrestigaries erit: multiplicando per crucem. erit a00OTIOBOILDOM etc. per 1001 aequ. 10010000 et.
vel quod idem est aequ. 00001mmnu et. Nam experientia testabitur hurjusmodi mus
plicatione denominatoris in periodum fractionis non tam prodire 000100000 etC. quod aliu
voromoomeu expectaret, quam B000rIet. Haec duo autem coincidere manifestum est, nam
Ergo dicebendo: C ipsi eo0oe addas quantitatem utcunque parvam, ut aet
su X 4XLX X et 0 0000000 et 000900es sunitates transibunt in 0. et ultimum 0 in 1. differe
nnc
tia ergo quantitate quavis data minor est. Ergo vicissim erit
0000111000111000I etC vel aequ. 000111000MovOI et
itmmmu et
OMM et
Cumque periodus ipsa sit quidam numerus ut ovo est aq  0001I est 0007 et
1001
Hinc sequitur ut  in in duabus fractionibus aequalibus si numerator
4000000oooovenbo  multiplus numeratoris, etiam nominator est sit per eundem multiplus
nominatoris, itaque ut 0001 per 111 seu per 7 dat 00011100DMM ODOUI etC.
ita necesse est 1001 per 111 dare 1111I et. et esse 0 et quia
000111 aequ 0001
per totam seriem priora repetuntur, esse
UIIu
idemque
000111
1001)
calculo ipso verum deprehendetur, nam 0001 a seu  aequale est = seu-
111III
1001
in progressione dyadica
Nam C1 est 4 - 1 seu _100- 1 seu 3. et 111 est 8- 1 seu 1000 - 1 seu  7.
se
et n1 est 16 -1 seu 10000 -1 seu 15. et  1n est 32 - 1 seu 100000= e
U et 1m  est 64 - 1 seu 1000000 -l seu 63. Habemus ergo
theorema admirabile; dati cujusque numeri multiplum esse numerum
aliquem progressionis geometricae duplae ab unitate incipientis
unitate minutum. qui numeri ut hoc obiter dicam sunt etiam
numeri omnium combinationum possibilium datorum numerorum at hoc
obiter dica quanquam non eorundem cum istis quorum sunt
multipli. Idem transferri poterit ad omnes alias progressiones unde
.Nimirum numeri ut 9g9.
99gg. 99999.  et ita porro in progressione deradica etiam
Hinc jam ut hoc
multa admiranda reperientur
servient. idemque est in reliquis.
quoque annotem quia mirificas consequentias habere potest, modus habe
vitur inveeniendi utrum datus numerus sit primustious. Quod est summum
numerorum arcanum hactenus mortalibus incognitum. Nimirum dato
quovis numero quaeratur periodus fractionis d suae dus adicae huic
respondens numerus funitatibus toties sese subsequentibus quot sunt notae
e
composit
periodi, erit ille numerus progressionis Geometricae dupla unitate
i
sumatur alius numerus
pormulus qui est dali numeri multiplus.
idem aliter
probari
probari potest
uon ainus utilitu
os
00i ae qu.
aequ. 10001000 etc
seu x 16) +
4000001000an 10000se 0001 aequ.
ooeeates seu:
X +X + X
000 et (seu X +
+X +X ZX  ete
1-
Ergo erit
Seu a063o 111
100000 -1
seu aequ.
111C
r11I
in
seu deniquee aqu
idemque in aliis
omnibus numen
succedem
cesse est
seu-
seu X
 aejo:
seu aequ
quod fit
continuata
divisione ut
 eimntio