# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068200:0479
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068200:0479?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 3 (shelfmark LH 13, 3)
# Folio 239r, page id 00068200:0479
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068200&page=479
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068200/jpgs/default/00000479.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 122 lines, status machine
# Lines: 122 recognised, mean confidence 0.86
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

eric
armm-
icae
ir et  b. XIII,
Hic de generali propriptate algetcarca dirivanda ex serie exm rel eexemplorum
a signabilibus differaentiis potustatem, et a defferentiis affectorum regressi ad formular affectionis, item de disfprentiestissigpabilibus laa sa vrdent
icasione dyadicae Methodi ubi recta sine calculo Algebraico devenitur ad rom
u
unis Quaesita in problematibus etiam impeditissimis diophanteis; incidit cogitatio de magno hoc
problemate. Datu serie numerorum inte grotum finitorum, invenire tarum communem expressionem
Aaleare Algetraicam er;  si qua haberi potest saltem per Algebram communem, sune
transcendentium suferventione
st constans ascepedunt ad quadulum quorum tertia
nstans ascendunt ad cabum, quorum
depcircipho. quod numeri quorum ultimo secunda differenti
fnda quacta constans ad quadrato ascendunt ad quadraloqua-
dratum et ita porro. Et quia constat (si procedatur per numeros consinuos radicales confrauo seu
si X suit numeri naturales oddine sumti, ut supporioi hinc) quaenam suit differentiae quadratorum tubor
es. nempe quaedentor aterum 1, quadratorum Z, cuborum 6, et ita poro; hinc si differentir
constant quae provenit, ex. g. sit divisibilis per aliquem horum uti esse debet et quidem naximum ex
in quoliens erit coefficiens hujus potestatis. vigendum quidfiat cum vid inventa sua altissua
potestate debiaiatur illa a numeporum serie, resiductum rursus altimis diffecentiis dabit probimun
tas
eoefficiente
potestatem; et ita porro. fortasse tamen res ala ratio haberi poterit compendiosius ne opus sit detrare
na
cay
inventam altissimam. videndum quid fiat si + et- misceantur. Fe Fieri pt ut summas terrumus
sit affectus signo- sed tunc dum sequentium coefficientes salis magni sunt; sed in piogressu serier
hoc modo oportet tandem deveniri ad negativos. Si vero primue seu summus sit affirmations semper
pries affirmabiva manere potest. Videndum ergo an  si maximus inventus detrahatur, fieri potest, ut
residuiproximi numeri sint omnes negativi, et func siguum est proxinam potentiam affici signo-. Idemque
est in progressu. Hinq problemata diophaptea redacta ad huegros quod semper fieri pt meaque rex
solula hacarte poterunt traduci ad ungebram. Fate Et mea Methodo dus adica const
Eai
constituta fortasset, ne opus quidem eut serie cumerorum ipsa, sed ex dyadica expressione haberi poterit
generaliter quae sit progressionam differentiarum ratio. nam ibi proprietates cuborum, quadralorum cuboru
aut horum per constantes nullir lorum aqnosci possunt.
sul intus forest Nova opus esset consideration de differentiis fractorum d; qua seu serienm
dgadicarum pertodicarum, quoo procedant. Sed quando ve nunquam pervenitur ad diffecentius
constantes signum est expressionem communem necessario esse traoscendentem, qualis est cum
Alebra indeterminata ingreditur exponentes; et quidem si sit numerus ut a devenitur ad
differentias progressionis geometricae, se horum multiplos. sed si quid si
aliud, hic ad huc investigandum quae sit lex differentiarum valuti 
X+1
gan debet per seciem, at sit X X
duo termini summi differentiari possunt cum, nempe
+
e
X
1.
X
= X
X X vel XFa, vel aliquid
X + 1
+1
Hic X+1 investi
+ X + 1. X. X -1 gXaV, etc. ubi
3
XXt = X = XX (X - 1) et XII X, X
X seu X X seu X. X: et ita porxo termoni omnes possunt cum
primo differentiari, quod etiam potent trans ferri ad cajum differentalium infiniste parva
erunt (X + - 1)
rum, seu langentes cuquarum sic expressarum. Tametsi eas excm aliunde jam habe inbenelium
poferventu loganthmcrum faterim rem etiam hinc derivare jucundum erit et utile; ubi utab
cilculum nostrum differentia lem pro infinite simalibus duximus x differentrali pro ordinariis
X+ 1. X giX -1)= X+ 1 XN sed tunc non semper coeffiientes  insegri. Intemm
rolabile ex hac variatione ducimus circa numeros integros quod scilicet, Xt1  semper est
Nota etiam quod
1n
1.2
numerus integer, modo X sit integer seu (X +1) X semper est par Et talia theoremata condi
Haec de expressionibus Transcendentibus exponentialibus. Verum
tantur et ss series, quas ad exponentiales revecare non licet ut quae fiunt per productos
confinuorum. ut si terminus prium sit 1, secundus X, tertius X1X+D, quartus ∞, XH, X+2, quiatus X, XI, X2 XC)
possunt in finsta
hic differentiae scnt X- 1
seu de +X X. X
ALIXX +LEX - (XX+X) seu XL 2X +X seu XHE X) X + 1X + 1. 2X + 1.23X -X - 1X F1. 2X
 XX(X 2Z X + 3X + 1. 2 X + 12.3 X. ubi apparet coefficientes essenumeros qui
XX
seus
23 continuis ab unitate fuctorum, detrahatur summa combina
= 112
tionum tam nunq multitudine rerum quam gradum combinationis proxime inferiorum
fiunt si a summa combinationum ex tri numeris
connexionem habent lum summt rarmoniorum similium. Nam 12+ 1. 3d rusus serieshasmo
Iu qualuor rebus 1. 2. 3 + 1. (2. 4 + 1. 3. 4 + 2. 3. 4  =
1
1M1C
23 1.4 13 e iti
+ L 4
3. 4 2.4
cota
seu 3. 4+;
1. 2.3.4 + 1g. 8, 5 + 1. 2. 4. 5 + 1. 3, 4. 5 +2. 3. 4.5
1.2. 3 a 12. 4 + 125+ 13 4 +135 +145+ 8341235 245 345 3. L1. 2. 3. 4
3.4.5 24) 275 274 195 135 13+ i25 124 13
3+ 2.4 +3. 4
vel qu0dammodom
+
X34 241.4 23 13) 1.
dest Jias 2 145 (Egs 155 (234 134 (1. 25 (124 u
plures sehces
= 5,4 13+2+1 +4,32H +5,2+1 +2, 1 et n3+ng e ad 345 st 45, 312+1 +3.5, 2H t2.5,
s fe
unde cum idem haberi possit per summas harmogicas, et per arithmeticas videndum
prithmeticas nn 12413 rigere adas
 +
qun esse summas duarum seriermmi progressionis
in quiaque 2
14 25 ut 14 is i  13 in sen 45 35
ett
Hoec aliquam
+ L + 1, 1. 2. 3. 4 et 1. 2 + 1. 3+1. 4.4
in 1.2. 3. 4. unde patet
harmonicae summas conjungi
(5F 3
34
+3.4, 211 424.
an aliquae inde duci possint equades
23,1