# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068201:0162
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068201:0162?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 14, 1
# Folio 81v, page id 00068201:0162
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 80r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068201&page=162
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000162.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 126 lines, status machine
# Lines: 126 recognised, mean confidence 0.84
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

de tur ergo via aperta demonstrami quod tot sint
radices posituae quot mutationes signorum, tot privativae
quot consensus signirum; posete sea q quod si
otu ostenditur aliquando 2 id esse falsum, non tam concludi debet
regulam esse falsam, quam hypothesin, nempe quasdam radices
esse impossibiles
itaque Ante omna igitur manifestum est, in aequatione cujus omnes
raduces sunt verae pr privt privativae, signa ubique esse affirmativa
(1)
item si aequationis omnis radices sint privalivae praeter unam, omnia
signa fieri priontiva praeterquam termin summi
Et facile ostendi potest in aequatione cujus omnes radices sunt
per X +I seu per radicem spositivam, ut un uno signorum
consensu augeri habetur demonstratio regulae.
le Fonamus jam cmmem ductam in radicea ductas in summum radicee
aequale esse sum majores esse binionibus, et radices in biniones majones
Nam lm in L. = l.m + Hnn 8
in terniones majores, esse quat
m ashail n
1 mn + Im
Hic constat et radices divisa
tetlia
 et p
coro
factum earum dare combinatio ne
penultinam, et divitas per biniones divisas uper factum radicum dare
combinationem ante-penultimam eC.
si aequatio ducatur in radicem privativam, terminus primus et ultimus
in producta idem  signa habet eadem quae producens.
Et si in aequatione prro
ajore
em signum
habebit,
Sim aequatione producente tresrmini habeant signa consentientia, tunc
la
terminus ejusdem gradus inp
iem
duo termini continui a ejusdem gradus, duo aut tres etc. termini habebint
eadem sigua. Continur ejusdem gradus cum majoribus habebunt eadem
signa quae illi, et adeo eadem inter se.
molescumpor major sit
si radix; privativae mapor sit summa radicum sit summa radicum
producentis, nc (e major quam b) tunc terminus productae et terminus
producentis ejusdem gradus eadem habent signa. Nam si e b
e vig. C+ be X habebit eadem signa qua ta
bx, nam si
jam bbpcc per pro
b p C (ex hypothesi) erit  be p bb  tam si cc et b habent
eadem signa etiam ec et be habent eadem signa; adeoque cet be eadem
quae bi vel quae b. sin cc et be signa habent diversa, praevalelit be, quippe
majus et cc +be eadem habebit signa quae be seu quae b suppono enim
e signa non mutare
Set accuratius demonstranta est prop. 4.
Im in l = 1n + Ima et
lrun in l = emu + lump. ubi mulliplicantium intelligitur moles, seu ita assumuntur ut int posotivn
sed hinc oritur als difficullas ponc esse 1m = 0 Ergo ln + lum 20 ergo non sunt hoc anto
positiva, nec proide si ln paulo major quam nihilo. Itaque accuratiore opus meditatione
Siucunit alia consideratio. Sit X Vx + c X rd3x + et
quod ponatur dusigu inde excerpi Cx +d2X = 0 hoc eumm lices
in es lasu quo X in eo seu X + d= 0. seu radicem esse falsam
utique
x +b +e potent dividi per eandem radicem sed nnhi
propoaatim aesertio gmeralis X 1 a X = al. X, +aV X etc. O et
praestant ista
e (e aeq.
X 11 XF + m X
+n X et
quaeratut simul a (v. g.) per m et a per n edque generali quadam regula mettra
vinionum, non discinguendo rectanque lamope a ternionitur et (ita, ut ideu alculus prodeat
nunc qui prodiisset si ad hilmssemus Det i) prodilit aquatio dactum valorum iasius a, ex
direisorum
qua sequetur unam ex literis
ponamus, duas quaedam coesticientes sibi vicinos esse codem signorum, v.g.
raclicem 
in et  demoque dico equationem necessario habere
explicetur sed. aequatio  v. g. sic X  + ql. (X  ut c X - ab co
an
 ad 
oid
an
quod si jam ostendatur tantum aequationem quamcunque multiplicatum () positis t  2 et 6 _ et _Op D
positivae signa terminorum alternare.
constat
esse ternion
Imn
ins
et mo dubia pp 4
Xoax abKab
ex tlm
X -a X tab- abex H abel X
in
Eta tmu +
tmau
abum
e
ponamus plures esse radices politions
istttir Ham er
quaeratus vulor ipsius a per , m n
prodiat eadem aequalio, signis tantum
guadum parum mutatis, quo
la mcthoou demonstrandi melior
radix liva, ostendatur par indectionem duobus terminis icinis posins
gatrus necessario omnes
si emmeru eudicum sit pua cum ullima terminu
nulatio vel ad samonum
mun
ivae, cum utticus un sit positq, tunc N sendus et dlruc ulius ut
din
lioqui
etiam acgalior
unicum existere posse negativum nempe aliquam inte
altimo per negalivos
sili
aegatibus uta
anc non nisi anius pegalibis uatut sent vntia pobitivae non insi dua contnduse negas potlios, eot
utimalos s
negationes plum glimurs su
+1
illuddum
alia
in aequatio ac Cumonica sit una tantum
rariorum
el et  de
positito
niis
ositvae, cum altimus sit negatius