# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068201:0439
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068201:0439?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 14, 1
# Folio 220r, page id 00068201:0439
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068201&page=439
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000439.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 170 lines, status machine
# Lines: 170 recognised, mean confidence 0.85
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Eabir sac +ad  B  X. 
 ab + lac, +2 Laebd + adiac + ad  X
X  + bX  + ac X + a d. B.
ac y +f
+ ba +bat. +157
as 13af. +3a fr. + f3)
y3 + be y +ac E y +  
+3f : .. + 2bf .. + acf
3f =- +bf:
+)
+ b E y +ac P V + ad E
+3f :.. r2bs . + ac f
+35 = - +bf2:
+ f3:
= 9.. + B9E.. +ac 9 E
+3f. :.. +2bf.:
+3f. +.
April. 1675. De excitationibus  aequationum ex radicibus irrationatibus.
Ergo
xH.
IBLL
d
+
AI
HANHODENAII
crrmltiplicetur per
+ aed 95
+acf
+bf:
Aequatio in qua tres sunt arbitrariae, nempe, e. f,)
d Reducatur haec aquatio rursus ad Cobicam per regulam Vietae, quae
 + hpo.
cubica aterum multiplicetur per novam arbitrariam
fier iterum aequatio denique revocabilis ad subicam aterum
Et vero simpliciter sine ulla explicatione, tequationem
multiplicabilem
X3 + b X + ac X + ad. 70. multiplicando per Xt qp
productam aequationem ceduando ad Cubieam methodo vietae
hanc rursus multiplicando etc.
productam cubicam rursus auttrem
et reduando ad lubicam,
haberi potest aequatio cubita vel equadratica quot vis arbitraria
Notu: quotiessumus quadrato quad raticam aequationem
rum. Quod est admrabile Anvero id serviat ad depresio-
aeterum si cGlenti simu aequatione D poterimus eam discerpere
nes examinandum est
more alibi a me astenso, aut etium cum reducibilibus comparare.
ad Cubicam reducieno doties explicatio redditur inutilis.
Ojus enim est exratione secundi termini. Restat ergo
sola radicis multiplicatio
Ae pundi pouendo f,0. fiet:
9 + b8 y + ac e 1+ a d  d)
+9 .. +b95.. +acg e ... + ad =
 X+ bXL acX + aed p per X + g
Eg. . +bg.. +gac. rgaed 5B
X + bX + acX + aedX + ae p
X + fX + ag
X + b X + acX  + ad X + aCX
+fum +fbm. +fac.... 4 fad.. a eX
xag.. . +49b .. + agac.. + a9aed. + aga c
X  taX + apX + aqX + 2s X + aet po
b maf
d ap, - fan + f m - f + fag, v a , - gn + 9f on Va
ap s an agfem  +f ag agns + ag f agg -at - 9 an a 9 sanussaragt
Extar, + gap, - fang + f n9 2 f 39 + fag r a , 9 m + 9 f - a. 59r0 63
ponendo fBo fent aequationes duae: ag9 - a t - q An + Ag3 p70.
et altera: + g’ in + a spo unde da  adeoque
fiet: aqu et +n a s.
quodsi ponas  g.  0. fier etiam F Boo rmihi videm
absurdum. hnolforte enor in aeq. e
Ne per i multa nimis tentamenta eundum, sit si enumerare petimus modos omnes quius
demonstratione quadam confiliat aequationes non esse magis reducibiles, e.g. per quam demonstretur
impossibile esse,ut aequatio cubica per Erculos et rectas consstini possit. Sciendum autem est
generationes Aequationum ex  multiplicatione radicum, qua ratione praescripsit Cartetius
utiles etsi utiles tamen fictitias esse neque naturales. infinitis autem variari posse modis, at aliam
esse aequationum prodluctionem. ex 2a dicibus, tollendo a radice quadam signa omnia radialia.
imirum cujus libet aquationis radix potest unico exprimi modo, per gcompositam, quandtim
quantitatem quam irrationales ingrediuntur. Et ex illa  quantitate sine
mela alia inquisitione statim agnosci potest, an aequatio (aliqua sit reducibilis. Ut
in Cubicis et quadraticis jam inventum habemus; ut vix quiddem ipsis addiposse vidatur
nnsi ut sciamus in sabicis quidem an sreduci possint quaedam ex illis ad formas
X pb + Sac + sae  saf etc. Ude Ajo primum b. esse mutile cum possit X - b ponips.
deinde reducendo. X ac + 2d aece + acsas + ae + d avsat & Unde patet si irrationulem
umimam in uno ponas later stm et parvam saf. loco rationalis habeas, assurgi ad
aequationem quadrato quadraticam, sed in qua impares termini desint, quae proinde
plana manet quod si novam instituus quadrationem tobendae ipsius taf causa, facile
judicari potest qualis futura sit aequalio, amultiplicando in se solem: X abX +aCH
continuemus rediuere aequationem . scribendo daece + acras), X - rac X + a
28 ae
X = 2 X sac + ac p ae + dasaf.  Unde porrout tollatur tac
fier = 2X sac F - X2 - ac + d ac quibus reductis eadem quae aute
ad alisi
 et X2. Quod si postea etiam
fat tollere velimus fiet aequatio specie octavi eaipse qarti grabus completa.
sed commodissimum est uti alia Reductione: Nempo ex aeq. 6 fiet:
1 a taf. Une quadrando: X  qa X + rac
litera d. est imtis semper enim reperitur aut cum  aut cum f.
 ponatur Dp a. ante omnia 4 sace = g - m. et ac F d. 7 hon + m)
ergo 6g + 29m + n, -ah =nus ae
CH an = fm + f = ag a.
(+ 9f
abc p0. Quae effectu ipso quadrato quadatica est reductione ad aequationem cubitar
uod si ab intro sic posuissemus: X - tac + Sa etasaf. feret:
orietur aequatio quae aute in qua non nisu
X = 2 tac X + ac
+g+ n, g. + 2gm +ni
recteus
fn aq - a + - agan +9fim gf + ag  (ad
aequatio aliqua proauci potest, ut praescripsit Cartesius: quaerenda est ratio quaed im simplex, quas
tractabilis via Cardam.
fit enim X +abX + racX
+ ab . + 2a tbc
aras
F0.
imo non redditur inatilis, quia ob multiplicationem noro radicis impeditur
ne omnio redeant ad statim priorem
X LbX3 + ac X + a dX
Unte er ta.
sive
e
+ 4 ac..
2d acae - 2d 2C
+2d acaras) - edesas
9em, 19 + 29m + nF, - ah -m9 al rmah 2+)
Ube videndum an explicando g. h. 1. ita ut duae plures ve juno quot libet
+da
hot acaraf
+0t a as
rae
(a+
af
posretili
lanities non cppareat
in illis reperinta arbitrariae, possit aequaliie 2 haeveri valor ipsius i sine extractore radiciae
tionet radinis cubire ita enim haeretur modus enuntiandi radirem cubica per quadraticasuma ut
1e.l.
+aeeaesac.
= adacae
4ac
Huddenius ioestruat radices mationales
per Mulli plicationes diversarum
iirationatuum in se inviceni; sum plor
longe haec methodus, qua una eadem
ducitur
duo ex hac solo inventoradicis quadra
tu-qua oralicae per cubicar expressi
videtur haberi aequatio inter radice
qua diclicum (quia quadrato -quadra
tica est quadrato
adeoque plana)
cubicam.
quadraticae,
in planam, e
tentandum ejus
an radices aequation
intr
hiberi
ut
pean
quadralicarum
maturaliter natura Dei, sint
quae duae expressiones poterun
conferri.
cum dac aequatione conferatur X +gX rahtra
X+gX Lali Xrat
+a.. + mg.. + m. + H
ponc mpo.
habetus modus enuntiandi
quadra toquadraticam
per cubitamu