# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068201:0474
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068201:0474?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 14, 1
# Folio 237v, page id 00068201:0474
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 238r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068201&page=474
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000474.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
# Lines: 79 recognised, mean confidence 0.88
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Unde imposterum sine irrationalium consideratione pro inveniendis
radicibus aequationum Cubicarum Cirvationali et fractione carentium,) regula
haec praescribi potest:
Ante omnia utile erit aequationem ita praeparari ut
Terminus penultimus dividi possit exacte per 3. et terminus ultimus per 2. Quoda facile
est.
Deinde sumatur u ex numeris quorum quadrata triente termint
pen altimi majores sunt religantur illi quorum cubi semisse termini penultimi majores,
et ex his verissam rursus illi aliquis, qui terminum altimum ex cujus dapenu e
terminum te ultimum ex metiatur. Etsi autem  raro hoc  plures praepare
possent, si quando tamen id concingat, oligeatur ille, cujus  duplicati cubus
additus subtractusve termino ultimo, ac per duplica ipsum numerum duplicatum divisus
det penultimum. Is enim erit quaesitus. Et si eorum nullus hoc praestet. Certum
Quam conditionem ita demonstro
est non posse inveniri radicem rationalem.
sit aequatio data  X3 - qX  -Y.
quaeritur radix ejus X, vel 2b. eiitque
sit aequatio aliqua assumta
adeo X3 = qX - Y po. divisibilis per X - 2b.
X + 2b X + d. quae in X F2b ducta dabit: X X + dX d p0
-4b.
X3 X = qX = Y
a lam aequatio X + d X - 2db pjo. transposita dabit: Xp dX + 2db
= 4b
addtur utroq e auferatur utrobique 8b, et fiet aequatio:
+4b2.4
N - 8b  - d X + 2 d b. q ubi patet 2db - 8 b3 divis. per - 2b. dare
+4b - 883
dar = d + 4b2. jam 2dbp r.
et 4b - d p q. Ergo x = 8b p 9.
Idem brevius si sic demonstratur, cum ex aequatione data:
26
sit X = qX = Y 10. et sit ab H X. erit. 8b3 - 29b - r pio
sive - r+ 8b3 H g. si esset 2b Xp - 2b. tunc foret 8b3 - 29b  + r p,0
+29b
et
8 b3 + Y
N
Santum jam videndum est, an radices etiam falsae inveniantur, quando sunt
rationales. Us si sit aequatio:
quae aequatio dividi potest per Y +3
V14- 12V - 9 H 0. vel Yp 12Y +9.
VB m + n. et y p n + emus y. mapi 4. m + n r. a 
et m + 64 H d. et 7 m - 9m3 + , 
M3
et m3 B +  D + L. 175.
N
 64 
Transmatmus ubi satet necessurio m. et n ejusdem signi esse quia Mn est quantitas
affirmativas deinde n  signum uhriqque affirmativum, quia exquantetas
vera radix vera Y est quantitas affirmativa. Sed si scribamus:
y3 - 12Y + 9pa tunc faciemus VH - m = n. et erit - M +64 1 = g
m
videamus ergo an methodo rostra inveniri possit radix, n sive 2b p 3. unde bp3
nempe b 3. Ergo br 2. Videamus. sed ulite est aequationem praeparare
ut sit terminus ultimus divisibilis per 2. nempe filit y  Z. fiet:
N. .X 12 X + 9 pjo fiet: sive X3 - 12, 4 X 4 2 B. Culus aequationis
ut quaeramus radicem, ante omnia erit: 2b, aute omnia erit b1 4 seu b5 16. seub e 4
et b p = seu b p 36 seu  Ergo b p27. Ergo  p 3.. Jam duplicatus b
est integer, go quia e X. Ergo si b reperiri potest, erit, 3 + L, seu 2. Nullus euim alius
numerus inter 3 et 4, seu inber B et E inveruiri potest,  cujus duplicatus sit integer, quam Z
ergo 2b ert 7. Ergo Y foret Z. Quod non est itaque hic nondum mihi satisfacio Videndum
ergo: X3 - 12, 4 . X = 72 (0. et XF. aujius rudix. - 6.
Xp) 1C +36 + + 36136, = 16, 16, 16 +YO + 36 = L X, 36, = 16, 16, 16. sit ane
X  Sca _ - b - f- cq. 1 - 2. Radia autem aequationis fropositae X= 48X - 72
 a  -ca Lca. fende b psb cum rit -b. idio radia  a binontio
i6 deberet esse - 3 + sca.
Bbca 13b...
cujus cubus : - = 27 - ia 0s - ca  erit 9ca - 27 136. ex ca = 3 4. et ca p7.
et 27- ca 120 cujs quadrntum 400, per 7 , A 3800
toca 14..
quod est verum nam 36, 36 = 16, 16, 16 - 2800. Quod si ergo non norissemus radiem
esse  videndu  6. videndum qua ratione indagare potuerimue. Sanc  video cur non possit dici:
B3 p 36. Est euim. 3b ca - b 536 at tame b p 16, quia b + ca ⊓ q H 16
17
Duplum enim ejus est
radix quaesitaet semper
Eadix quaesita terminum
ultimum metitur