# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com # Page: https://leibnizlegible.com/page/00068216:0016 # Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068216:0016?run=74 # Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 A 3 # Folio 8v, page id 00068216:0016 # Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half. # Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068216&page=16 # Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068216/jpgs/default/00000016.jpg # Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 89 lines, status machine # Lines: 89 recognised, mean confidence 0.88 # Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German. # Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text. # Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote". # After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line. esse quantitatem pure irrationalem, sumimus erium aequationem in qua terminus secundus est sublatus. traeterea etiam ejus partes per consequens, nempe a. b. C. d. esse quantitates purcigrationales. Quantitas pure irrationalis manet pure irrationalis si in seducatur aliter quam secundum exponentem radicis, ut s radix surde solida nsinon fit rationalis, nisi in se ducatur ita ut prodent ejus potestas 15). Pors.8 eu. IaQuantitas partim rationalis partim irrationalis, si in se ducatur quomodocunque, manet partim rationalis partim irrationalis, seu nunquam fit pure rationalis, neque pure irrationalis. Si duae quantitates pure irrationale smplices dutu in se invicem sintque ejusdem gradus squales unt vae q quibus nos utimuc) potantur turc ptroductum aus erit totum rationale, aut totum irrationale, ac proinde si productum non est rationale, nec pars ejus erit ratioealis. Voco autem quantitate irrationatem unius tor 59 vinculi eum totum quod in illa est sub uno vinculo continetur. Cu id quod sub uni 9 -qp commaltiplicandarum vinculo continetur sit pare rativaale, alterius pure irrationabe vel unius utrobique pure rationale, aut utrobique pura irationale, aut utrobique mixtu p aequ. ab. B. li qu. quoq pregabaqu productum non potest esse rationale. Itis atque similibus proamissis ium priguum ad superiora id quod est rationale in X vocemus (2). id quod est rationale in X vocemus (3), etc. Est autem X aequ. a + 2ab X aego a3 +3ab +babi X aeqo a + + 4ab + = 12 a bc +2a abid X’aequ ar5ab 10ab4204bc + 30abC +60 ab d abid abre ec poitur in X esse radices quadraticae in X cubicae in X gytica et a. a. a erc. nihil in se continent rationale, asi in suo gradu, nih id est nisi sit protestas ergeba q tgre secundum exponenlim radicis. Hinc si non sit rudix quadvel vel et orc. tunc. quod est rationale in X erit tantum in ab. Hinc necessum sequitur in quocunque gradus ab semper aliquid continere rationale, quia in quocunue gradu quadratum radilis semper alquid continet. si a vel a sit potesta) secundum exponentem rudicis, tunc ele semper pars ejus aliqua est rationalis. patet, quia vinculum tollitur id autem quod in rationale. vinculo continetur est partum rationale, nam ortum est aggregatum radic aequationis proxime insen inferioris plenae, seu secundum terminum habentis, ergo partim rationalis. CEodet modo probatur tisdem positis seu si potestas a vel ad etc. est secundum exponentem radicis sit Xaqu tunc quod est rationale in X X X etc oritur ex p. qu. re posito XZ- p q et tunc summum omnium ad verbi gratia, esse quantitatem totam rationalem, est enim aequatur enim termino secundo quantitatis proxime inferioris. Notandum autem tesse in singulis partibus quantitatem opationalem eaudem, corg. si a + b+ C R aequ. O eut rationale isisit Kaquo Si se in ab. ab. at b ecc. vign ab, sit a potestus secundum exponentem radicis, tunque, ab est potestas pare irrationalis, quia a eo casu est partim mis irutionatis in a vel b vel c aequ. 8 pure irratonalis in semin phrs ratio nalis ipsius a ducta in opure irratonatem producit pure irrationalem, pars irrationalis ipsius a rationalis partim trrationalis, at b purciatio in b non producit producit etium pure irrationalem, nam airrationalis unius rinali in est b est irrationalis unius vinculi, etquod irrationale in a est etium mnius vinculi, contenet est enim radio aequationis propima inferioris deruto ejus termino semndo componitur ex pluribus vinculis infer quorum quodque habet exponentem giadus proxinet eris, quam ex exponens vinculi ipsi hac consesuentia ergo nullum ex ipsis ductum in b producit aliqua rationale. Imo generaliter hinc videbur etso e ostendi aa. ab. ab erc. nihil in se continere rationale. Num et si tum a quam b ponantur irrationales ejusdem vinculi tamen quia ab semper est quantitas rationalis in omnibus gradibus, ut supra demonstravi; hinc et a. a. etc. ex hypothesi quantitas Gune irrationalis serecepto, casu quo est potestas secndum exponentem radicis, sed et humae Casum nihul tratio rationale dare paulo ante ostendimus) erg pure autem rationalis in pure irrationalem semper producit impliimalem pure trrationalem. Higi jum Ergo ab aeb e sunt quantitates pure irutionales. Eodem modo et imo error ab nondum est probati imo nec verimus a esse potestatem puro rationalem. Ergo aliter ratiolinandum. ab vel ab vel B fit ex a. a. a in b. est aerb sesunt autem ambae pure irrationates unius vinculi, ergo productum est 1b) quamlibet ab. sou totum aut totum rationale, hu totum irratiouale. Prodactum si est totum rationule tuine si ab est Tota rationalis, tunc a b. aberc non est tota rutionalis. Quodsi ab est crrationalis, tun sis etam ab ab est irationalis (extepto caso quo potesta e semndum tudilis exponacte) t ac et aV. ab3. erc. mere ircaionalis (excepito caso quo potestas est seundum exponent indicis). Hise sequitur et si ab sitprationalis, et ab etiam ab essii ab sit rationalis, ab esse irrationale seu si ab rationulis ab ese irrationalem, itqu (quia b irrationalis.) item si ab rationalis etar a b erra ab inqto si ab rationatis suit ab irrationulis, itim ab, itm db item al horumque potestates, honique ab4 ergo et a3b, ab abt tionalis, quia si ab rationalis, erit ab irrationalis, horumue rursus in ab, ducta horumque potestales breviter: si aeb est qualititas ratisnalis, tunc omnes termini ex solis a et b compositi exceptis ipsius ab potestatibus erunt irrationales, omnes enim alii per aeb ejusve potstatem divise, nt dant quantitalem irrationalam, nempe potestatem ab a vel b vel ab. Hinc imo tanc omnes alii ut eum cia sunt irrationules,o cum e aut d selists Ergo genoraliter si una quantitas ex a et r est c coet ) u sualitor composita rationalis, caetroasomntis et ael t nqvalibur vel maqua ite composita excentis illiu potistotibusunt conlntia ujusonpuli at A+V9-p